Л.Н.З. на интервале (a,b), необходимо и достаточно, чтобы определитель

Вронского

| φ1(х) φ2(х). φn(х) |

W(x)=| . |

| φ1(n-1)(х) φ2(n-1)(х). φn(n-1)(х)|

был отличен от нуля при любом х из [a,b].

Любое решение однородного ур-я можно представить в виде линейной комбинации

фундаментального набора решений : ў=∑i=1n

Ciyi , где Ci (i=1,2,.) – произвольные постоянные.

(общее решение однородного диф. Ур-я(*)).

4. Связь между общим и решением однородной и неоднородной систем.

Пусть ў – общее решение однородного уравнения(*), ỳ- некоторое

решение неоднородного уравнения y(n) + a1

(x) y(n-1) +.+an(x) y = b(x) (**).

Тогда у= ў+ ỳ - общее решение неоднородного ур-я (**). Зная общее

решение неоднородного ур-я, легко найти любое его частное решение.

5. Метод Лагранжа вариации постоянной.

Сначала решается однородное линейное дифференциальное уравнение (*),

соответствующее неоднородному (**): находят общее решение (*). Затем

постоянную величину С, входящую в полученное общее решение, полагают новой

неизвестной функцией от х: С=С(х), т.е. варьируют произвольную постоянную.

Найденную ф-ю подставляют в полученное на первом этапе общее решение

однородного уравнения, получаем общее решение неоднородного уравнения.

6 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Уравнения с правой частью специального вида.

y” + py’ + qy = f(x)

Алгоритм решения

I) Необходимо найти общее решение однородного линейного

уравнения

y” + py’ + qy = 0, соответствующего заданному неоднородному уравнению.

Для этого необходимо сначала решить характеристическое уравнение

l2 + pl + q = 0.

В зависимости от решения характеристического уравнения необходимо записать

общее решение однородного линейного уравнения.

Возможны следующие случаи:

1) D = p2 – 4q > 0, l1,2 – два действительных

различных корня характеристического уравнения, тогда общее решение имеет вид:

Y = C1el1x + C2el2x; C1, C2 = const.

2) D = p2 – 4q = 0, l =-p/2 – единственный корень

характеристического уравнения , тогда общее решение имеет вид:

Y = C1elx + C2elx; C1, C2 = const.

3) D = p2 – 4q < 0, l1,2 = a + ib – два

комплексно-сопряженных корня характеристического уравнения, тогда общее решение

имеет вид:

Y = C1eax sinbx + C2eaxcosbx, C1, C2 = const.

II) Необходимо найти частное решение неоднородного

линейного уравнения по следующей таблице.

Поиск частных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с

постоянными коэффициентами y” + py’ + qy = f(x)

F(x)	Дополнитель-ные условия	Частное решение φ(x)
pn(x)- многочлен n- ой степени	q ≠ 0	φ(x) = Pn(x)
	q = 0	φ(x) = x Pn(x)
	p = q = 0	φ(x) = x2 Pn(x)
aebx; где a,b = const	b ≠ l1,2	Φ(x) = Aebx, где A = const
	b = l1	Φ(x) = Axebx, где A = const
	b = -p/2 = l	φ(x) = Ax2 ebx, где A = const
asin kx + + bcos kx	k ≠ 0, p ≠ 0	φ(x) = Asin kx + Bcos kx
	p = 0, q = k2	φ(x) = x (Asin kx + Bcos kx)
pn(x) + debx + asin kx+ bcos kx		Cумма частных решений для каждого слагаемого
(pn(x) sin kx + qm(x) cos kx) ebx		φ(x) = (Pn(x) sin kx + Qm(x) cos kx) ebx

III. Общее решение неоднородного линейного уравнения находится как сумма

общего решения однородного линейного уравнения и частного решения

неоднородного линейного уравнения y = φ(x) + Y

7 Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной

системы.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка есть F(x,y,y¢)=0.

Если это уравнение можно разрешить относительно у¢, т.е. записать в виде

у¢=f(x,y), то говорят, что уравнение записано в нормальной форме (или в

форме Коши).

Рассмотрим геометрическую трактовку нахождения решений уравнения. Возьмём

некоторую точку (x0,y0) из области определения D функции

f(x,y). Пусть у=j(х) – интегральная кривая, проходящая через эту точку. Из

уравнения вытекает, что j¢(х0)=(х0,у0).

Таким образом, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой,

проходящей через точку (х0,у0) равен (прих=х0)

числу f(х0,у0).

Построим теперь для каждой точки (х0,у0) из области

определения прямую, проходящую через эту точку и имеющую угловой коэффициент,

равный f(х0,у0). В этом случае принято говорить, что эта

прямая определяет направление в точке (х0,у0), а

на множестве D задано поле направлений.

Если каждое уравнение, входящее в систему, является дифференциальным, т.е. имеет

вид соотношения, связывающего неизвестные функции и их производные, то говорят

о системе дифференциальных уравнений. Так система дифференциальных

уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями записывается обычно в

виде

ì

í j(t,x1,x2, dx1/dt,dx2/dt)=0

î y( t,x1,x2, dx1/dt,dx2/dt)=0.

На системы дифференциальных уравнений естественным образом обощается постановка

задачи Коши для одного уравнения. Например, в случае данной системы задача Коши

состоит в нахождении решения х1(t),x2(t), удовлетворяющих

начальным условиям х1(t0)= х10, x

2(t0)= x20, где t0, х1

0, x20 – заданные числа. Для случая системы может

быть доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши,

аналогичная теореме для одного уравнения.

8. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если в некоторой окрестности точки (х0,у0) функция f(х,у)

определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f¢y

, то существует такая окрестность точки (х0,у0), в которой

задача Коши имеет решение, притом единственное. (приводится без

доказательства)

Задача о нахождении решений дифференциального уравнения у¢=f(x,y),

удовлетворяющих начальному условию у(х0)=у0 , называется

задачей Коши.

К системам дифференциальных уравнений первого порядка в известном смысле

сводятся уравнения (и системы уравнений) любого порядка. Пример.

Пусть дано уравнение у¢¢¢=f(x,y,y¢,y¢¢). Если

обозначить функцию y¢и y¢¢ соответственно через m и n, то

уравнение можно заменить системой

ìy¢=m

состоящей из трёх уравнений первого порядка с тремя неизвестными функциями.

Векторная запись нормальной системы. (со слов Гончаренко)

îxn= f(x1,x2,.,xn). .

Представим набор решений как вектор х= (x1,x2,.,xn) в проистранстве Rn.

. . . .

Функцию также можно записать в векторном виде f=(f(x),f(x),.,f(x)).

Векторная запись всей системы будет выглядеть следующия образом:

. . .

x = f ( x ).

7. Теория вероятностей.

1 Случайные события и предмет теории вероятностей.

а)Некоторое событие называется случайным по отношению к данному опыту,

если при осуществлении этого опыта оно может наступить, а может и не наступить

(напр, выпадение герба при бросании монеты).

Согласно данному определению событие считается случайным, если его

наступление в результате опыта (опыт – совокупность условий, которые можно

воспроизводить бесконечное число раз) представляет собой лишь одну из

возможностей.

Под это определение формально подходят такие события, которые обязательно

наступают в результате данного опыта – достоверные события.

аналогичное замечание относится и к невозможным событиям ,т.е. таким,

которые никогда не наступают при совершении данного опыта.

Теория вероятностей занимается изучением закономерностей, присущих массовым

случайным событиям.

б)Сравнивая между собой случайные события, мы говорим, что одно из них более

вероятно. Чтобы придать подобным сравнениям количественный смысл, необходимо

с каждым событием связать число, выражающее степень возможности данного

события:

Пусть А – случ. событие в некотором опыте. Опыт произведен N раз и А наступило в

NA случаях. Составим отношение: μ= NA/N .Оно

называется частотой наступления А в серии опытов. Для многих случайных

событий частота обладает свойством устойчивости, т.е. с увеличением числа

опытов стабилизируется и приближается к некоторой постоянной р(А).

Вероятность случайного события – это связанное с данным

события в длинных сериях опытов. (статистическое определение: опирается на

понятия "опыт", "наступление события")

2. Комбинация событий.

1)Сумма событий А и В есть событие С, которое заключается в том, что либо А

произошло, либо В, либо А и В произошли вместе. С=А+В

2)Произведение событий А и В есть событие Д, которое заключается в том, что А

и В произошли вместе. Д=АВ

3)Противоположное событие. А – исходное событие, Ā –

противоположное событие заключается в том, что А не произошло (напр, А –

попадание при выстреле, Ā – промах).

4)Равенство между событиями. События А и В считаются равными, если всякий

раз, когда наступает одно из них, наступает и другое.

Каждое событие можно истолковать как некоторое множество, а операции А+В, АВ,

и Ā над событиями – как операции объединения, пересечения и дополнения

для множеств.

5)А и В несовместны, если они не могут произойти вместе в одном опыте.

АВ=Æ

3. Формула сложения вероятностей.

Если А и В несовместны р(А+В)=р(А)+р(В)

р(А)+р(Ā)=1.

Каждому событию А ставится в соответствие некоторое подмножество множества W.

Все возможные исходы (элементы множества) – множество элементарных событий.

W={ωi} Все возможные события – система подмножеств s.

s={A1,A2...}

1.Любое подмножество можно представить в виде суммы ωi .

2.Если А1, А2,.Îs (алгебра событий), то А1ÈА2È.Îs,

А1ÇА2Ç.Îs (если А1, А2,. - события, то их объединение

тоже событие)

3.Если А – событие, то Ā есть тоже событие.(АÎs, то ĀÎs)

Аксиомы вероятностей.

1.Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число р(А),

называемое вероятностью события А.

2.Если события А1, А2,.попарно несовместны, то р(А1,А2,.)= р(А1)+р(А2)+.

4. Комбинаторное правило умножения. Размещения, перестановки и сочетания.

Одни события явл. комбинациями других. И это необходимо учитывать при

нахождении вероятностей.

Комбинаторное произведение событий. Пусть А и В – два события.

Произведение событий А*В есть событие Д, заключающееся в том, что А и В

произошли вместе: А*В=Д. Аналогично определяется произведение любого множества

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12