на касательной стремится к нулю "быстрее", чем ∆х.

8. Приближенные вычисления.

Df(x0)»f '(x0) Dx

f(x0+Dx)- f(x0) » f '(x0) Dx Dx®0

f(x0+Dx) = f(x0)+ f '(x0) Dx

9. Эластичность функции и ее свойства.

Эластичностью функции y = f(x) в точке х0 называется следующий предел

Eyx(x0) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).

Δx ® 0

Говорят также, что Еxy(x0) – это коэффициент эластичности y по x.

(При достаточно малых Δx выполняется приближенное равенство

(Δy/y): (Δx/x) » Еy Þ Δy/y » Еy Δx/x.

Эластичность Ey – это коэффициент пропорциональности между

относительными изменениями величин y и x.)

Еyx(x0) = lim ( [(f(x0 + Δx) – f(x0

))/f(x0)] : [Δx/x0] ) = (x0/f(x0

))f’(x0)

Δx®0

Ey = (x/y)y’.

Если y’/y представить как логарифмическую производную, то получается

Ey = x(lny)’

x = 1/(1/x) = 1/(lnx)’ Þ Ey = (lny)’/(lnx)’

Свойства эластичности (эластичность во всех последующих примерах

будет браться по x)

1) Eky = Ey

Eky = x (ln (ky))’ = x (ln k + ln y)’ = x(ln y)’ = Ey

2) Euv = Eu + Ev

Euv = x (ln uv)’ = x (ln u + ln v)’ = x(ln u)’ + x(ln v)’ = Eu + Ev

3) E u/v = E u – Ev

4) y = y1 + y2; y1, y2 > 0

Emin £ Ey £ Emax

Emin = min {E(y1), E(y2)}

Emax = max {E(y1), E(y2)}

(Лемма a/b, c/d – дроби; a/b £ c/d Þ a/b £ (a+c)/(b+d) £ c/d)

E(y) = y’x/y

E (y1 + y2) =( (y1 + y2)’/ (y1 + y2))•x = ( (y1’ + y2’)/ (y1 + y2))•x

E(y1) = (y1’/y1)x; E(y2) = (y2’/y2)x

Из леммы получаем: (y1’/y1)x £ ( (y1’ + y2’)/ (y1 + y2))•x £ (y2’/y2)x Þ

Þ Emin £ Ey £ Emax

5) Для функций y = f(x) и x = g(t) эластичность y по tв точке t0

удовлетворяет следующему равенству:

Eyx(t0) = Eyx(g(t0))Ext(t0).

Eyt(t0) = (ln y)’t = (ln y)’

t (ln x)’t = (ln y)’x xt’

Ext(t0) = Eyx(g(t0))Ext(t

0)

(ln t)’t (ln x)’t (ln t)’t (ln x)’x xt’

6) Для функции y = f(x) эластичность обратной функции x = g(y) в точке x

0 удовлетворяет соотношению:

Exy(y0) = E –1yx(g(y0)).

Поскольку g (y) – обратная функция, то выполняется тождество

f(g(y)) = y

По свойству 5) получается Eyx(g(y0))Exy(y0

) = Eyy(y0) = lim((Δy/y):(Δy/y)) = 1 Þ

Þ Eyx(g(y0))Exy(y0) = 1 Þ Exy(y0) = E –1yx(g(y0))

10 Производная сложной и обратной функции.

Теорема.Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в

точке х0 производная f¢(x) не равна нулю, то обратная функция

g(y) диффернцируема в точке у0=f(x0) и g¢(y0

)=1/f(x0) или x¢y=1/y¢x.

Доказательство.

Пусть а=f¢(x0). Тогда из дифференцируемости f(x) в х0

следует, что приращение Dу= f(x0+Dх) - f(x0) можно

представить в виде Dу=аDх+аDх=(а+а) Dх, где а=а(Dх)®0 при Dх®0. Так как а не

равно нулю, то отсюда следует, что Dх®0, когда Dу®0. Имеем

g¢(y0)= lim g(y+Dy)-g(y0) = lim Dx =lim ìDyü-1 = 1 .

Dy®0 Dy Dy®0 Dy Dy®0 îDxþ f¢(x0)

Теорема.Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t0

и g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также

дифференцируема в t0 и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|

t=to=f¢(x0)*g¢(t0) или y¢

t=y¢x*x¢t.

Доказательство.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, поэтому её приращение

можно представить как Dy=f¢(x0)+a(Dx)*Dx. Где Dx®0

при Dt®0 поскольку функция g(t) непрерывна (следствие дифференцируемости) в

точке t0. Так как а(Dx)®0 при Dx ®0 и при Dt®0. Поэтому

d f(g(t))|t=to=lim (f¢(x0)) Dx +a(Dx) Dx =

dt Dt®0 Dt Dt

=f¢(x0)g¢(t0)+0*g¢(t0)= f¢(x0)g¢(t0).

11. Производная основных элементарных функций.

Производная логарифмической функции. y=logax

Dy=loga(x+Dx)-logax=loga(1+Dx/x)=1 loga(1+Dx/x)= 1loga(1+t)=1 loga(1+t)1/t

Dx Dx Dx x Dx/x x

t x

где t=Dx/x Используя непрерывность функции logax в точке х=е и первый

замечательный предел, найдём производную логарифмической функции: (logа

х)¢= 1(logа(lim(1+t)1/t) = 1loga

e= 1.

x t®0 x x lna

Производная показательной функции.

У=ах является обратной для функции х=logау. По теореме

у¢х= 1= 1 =ylna

x¢y 1/ylna

Поскольку у=ах, получаем (ах)¢=ахlna.

Производная степенной функции.

Функция у=ха при х>0 может быть представлена в виде ха

=еalnx. Найдём (ха)¢=( еalnx)¢= е

alnx(alnx)¢=ха*а/х=аха-1 Аналогично

доказывается для x<0.

Производные тригонометрических функций.

С помощью формулы sinа-sinb=2sin[(a-b)/2]*cos[(a+b)/2] , первого

замечательного предела и непрерывности функции cos x найдём

(sinх)¢=lim sin (х+Dх) – sinх= lim 2sin(Dх/2) cos(х+Dх/2) =

Dx®0 Dx Dx®0 Dx

=lim sin(Dх/2) cos(х+Dх/2) = cos x

Dx®0 Dx/2

Для нахождения производных функций cos x и tg x можно использовать тождество

cos x=sin(x-p/2) , правило дифференцирования сложной функции.

Итак, (sin х)¢=cos x, (cos x)¢= - sin x, (tg x)¢=1/cos2 x.

Производные обратных тригонометрических функций.

Функция у=arcsinx является обратной для функции х=sinу. Следовательно,

(arcsinx)¢x= 1 = 1=

1= 1

(siny)¢y cosy Ö1-sin2xØ Ö1-x2Ø

Аналогично находятся остальные обратные тригонометрические функции.

(arcsinx)¢=1/Ö1-x2Ø, (arccosx)¢= -

1/Ö1-x2Ø, (arctgx)¢=-1/(x2

+1).

12. Правило Лопиталя

Теорема (правило Лопиталя

). Пусть А – число, символ одностороннего предела (А=а±0) или символ

бесконечности (А=±∞). Пусть функции ƒ(х) и g(х) либо обе бесконечно

малые, либо обе бесконечно большие при х→А. Тогда, если существует предел

(конечный или бесконечный),

то существует и предел при этом выполняется равенство:

Доказательство:

Доказательство теоремы дадим в

случае, когда ƒ(х) и g(х) – бесконечно малые функции и А=а –

число. Изменим, если это необходимо, определение функций ƒ(х) и g(х) в

точке а так, чтобы значения этих функций в точке а были бы равны нулю:

ƒ(х) = g(х)=0. Так как

и

то ƒ(х) и g(х) непрерывны в точке а, и к этим функциям можно

применить теорему Коши. Учитывая, что ƒ(а) = ƒ(b)=0, получим

для некоторой точки с, расположенной между точками а и х

. При х→а имеем с→а и, следовательно если ƒ(х)→0 и

g(х)→0 (соответственно, |ƒ(х)|→+∞,

|g(х)|→+∞), когда а→А. Правило Лопиталя позволяет во

многих случаях найти предел вида

или, иными словами, раскрыть неопределенность.

В ряде случаев по правилу Лопиталя удается раскрыть неопределенности вида

Для этого следует воспользоваться тождеством

которое приводит указанные неопределенности к виду 0•х.

13 .Производные и дифференциалы высших порядкров.

Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1),

то производную у(к) порядка к (при условии ее существования)

определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) =

(у(к-1))′ . В частности, у’’=(y’)’- производная второго

порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.

При вычислении производных высших порядков используют те же правила, что и

для вычисления у’.

Табл. Произ-х высшего порядка:

f(x)	fn(x)
Xa Ex Ekx Akx Lnx Logax Sinkx Cos kx	A(a-1)*(a-2)*.*(а-n+1)*х a-n Ех Kn*ekx (K* Lna)n*akx (-1)n-1*(n-1)!/xn (-1)n-1*(n-1)!/(xn*lna) kn*sin(kx+n*π/2) kn*cos (kx+n*π/2)

Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким

+ f’(v)d2v и т.д. (т.е. св-во инвариантности не выполняется).

14 Формула Тейлора.

Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен

T(x) = f(x0) + ( (f’(x0))/1! )(x – x0)1

+ (f ”(x0))/2!(x – x0)2 +.+ (f (n)

(x0))/n!(x – x0)n

Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x0.

Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x0 (n + 1)

производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с,

расположенная между точками х и х0, для которой выполняется

следующая формула

F(x) = T(x) + ( f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – формула Тейлора,

где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х0,

rn(x) = ( f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – остаточный член в формуле Лагранжа.

Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки

х0. Тогда rn(x) является бесконечно малой более высокого

порядка, чем (х-х0)n при х ® х0. (lim (rn

(x)/(х-х0)n) = lim [((f(n+1)

(c))/(n+1)!)(x-x0)] = 0 – в силу

Х®Хо Х®Хо

Ограниченности f(n+1) (c) в окрестности х

0.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x) » Tn(x)

(*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – х0

)n, когда х ® х0.

Формула (*) применяется для приближенных вычислений.

Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х®0):

1) (1+x)a » 1 + (a/1!)x + (a(a-1)/2!)x2 +.+ (a(a-1).(a-n+1)/n!)xn,

2) ex » 1 + x/1! + x2/2! +.+ xn/n!,

3) ln(1+x) » x – x2/2 + x3/3 – x4/4 +.+(-1)n+1xn/n

4) sin x » x – x3/3! + x5/5! – x7/7! +.+(-1)kx2k+1/(2k+1)!,

5) cos x » 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! +.+(-1)kx2k/(2k)!,

где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хn.

15 Условия монотонности функции.

Если у=f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на этом отрезке, то

у=f(x)-const, тогда и только тогда, когда f¢(x)=0 при "х'[a,b]. Следствие

у=f(x), y=g(x) непрерывна и диффиренцируема на (a,b) и f¢(x)=g¢(x),

то f(x)=g(x)+C.

y=f(x) возрастает на Х, если для любых х1,х2'Х,

таких что х1<x2Þ f(x1)<f(x2

), убывает если x1<x2Þ f(x1

)>f(x2).

Достаточное условие монотонности. Если функция непрерывна,

дифференцируема на (a,b) и внутри (a,b) сохраняет знак, то функция у=f(x)

монотонна.

Докажем для f¢(x)>0 Þ y=f(x) – возрастает на (a,b) (для убывающей

функции доказательство аналогичное)

Доказательство.

Возьмём точки из отрезка (a,b) х1 и х2, такие что х1

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12