<х2. По теореме Лагранжа найдётся тоска с, приналежащая отрезку,

для которой f(x2)-f(x1)= f¢(c)(x2-x1

). Так как х1<c<x2, то точка с является внутренней

точкой промежутка Х. Поэтому f¢(c)³0 и f(x2)³f(x

1). Таким образом, мы доказали, что функция f(x) не убывает на промежутке

Х.

16. Условия сущ. экстремула

Необходимое условие существования экстремума. Для того, чтобы

дифференцируемая функция f(x) имела в точке х0 локальный экстремум,

необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство f¢(x0)=0.

Доказательство.

Поскольку х0 – точка экстремума, то существует такой интервал (х

0-e, х0+e), на котором f(x0) – наибольшее или

наименьшее значение. Тогда по теореме Ферма f¢(x0)=0.

Точки, в которых производная функция обращается в нуль, называются

Достаточное условие существование экстремума. Если при переходе

через точку х0 производная дифференцируемой функции f(x) меняет

свой знак с плюса на минус, то точка х0 – точка локального максимума

функции f(x), а если с минуса на плюс, то х0 – точка локального

минимума.

Доказательство.(для максимума, для минимума – аналогично, то бишь

самостоятельно)

Пусть f(x) – непрерывная дифференцируемая функция. f¢(x) меняет знак с «+»

на «-». Пусть для любого хÎ (х0 -D, х0]

f¢(x)>0 Þ по достаточному условию монотонности производная

возрастает на данном интервале Þ f(x0)³f(x) "CÎ(x

0-D, x0]

Пусть для "CÎ[х0,х0+D) f¢(x)<0,

следовательно, функция убывает на хÎ[х0,х0+D)

Þf(x0)³f(x) для любого хÎ[х0,х0

+D).

Вывод: для любого х Î (х0-D, х0+D) х0

– точка максимума для функции у=f(x). Ч.т.д.

17. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке.

Наибольшее значение достигается в некоторой точке х0Î [a,b].

При этом возможны лишь следущие 3 случая: 1) х0=а, 2) х0

=b, 3)х0Î(a,b). Пусть х0Î(a,b). Тогда х0

– точка локального экструмума и, если существует f¢(x0),

f¢(x0)=0. Однако производная f¢(x0) может и не

существовать.

Критической точкой функции f(x) называется точка, в которой

производная f¢(x) либо не существует, либо равна нулю.

Из определения вытекает, что точка локалького экстремума x0 является

критической точкой функции f(x) . Предположим, что критические точки функции

f(x) на интервале (a; b) образуют конечное множество {x1,x2

, .,xn}. Из сказанного выше следует, что точка x0 , в

которой функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение, совпадает с

одной из точек: a,b,x1,.xn. Поэтому для максимального

значения функции f(x) на отрезке [a,b] имеем равенство fmax

=max{f(a),f(b),f(x1),.f(xn)}. Аналогично для минимального

значения fmin=min { f(a),f(b),f(x1),.f(xn)}.

18. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

1.Область определения функции, поведение функции на границе области

определения. Асимптоты. Точки пересечения с осями.

(Справка: для нахождения асимптот рассматриваем односторонние пределы

(вертикальная асимптота), и пределы при х→∞ для выражений f

(x)/х (предел равен к) и f(x)-кх (b) (наклонная асимптота у=кх+b).

Подробнее вопр.1.3.

2.Четность, нечетность. Периодичность.

(справка: четная f(-x)=f(x); нечетная f(-x)=-f(x).

Периодичность f(x+Т)=f(x)=f(x-Т))

3.Монотонность и экстремумы. (Функции, убывающие или возрастающие на

некотором числовом промежутке, называются монотонными. Находим производную,

критические точки. промежутки возрастания и убывания, точки максимума и

минимума).

4.Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. (Для этого находим вторую

производную, точки перегиба, распределяем знаки второй производной: -

вогнутая, +выпуклая)

5.График функции с обозначением всех найденных точек и асимптот.

19. Теорема Ферма

Пусть ф-я у = f(x) определена в некотором промежутке [a;b] и во внутренней

точке этого промежутка с принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в

этой точке существует конечная производная, то она = 0.

С ¹ a, с ¹ b, f(c) – max. Докажем, что f'(c) = 0.

Т.к. f(c) - max, то для всех точек f(x) £ f(c) при xÎ[a;b]

f(x) - f(c) £ 0

Т.к. по условию теоремы в точке с ф-я f имеет производную, то можно

рассмотреть производную f'(c) = lim (f(x)-f(c))/(x-c)

1) x-c < 0 f’(c)³ 0ü Þ f’(c) = 0

2) x-c > 0 f’(c)£ 0þ

20. Теорема Ролля

Эта теорема позволяет отыскать критические точки, а затем с помощью

достаточных условий исследовать ф-ю на экстремумы.

Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на некотором замкнутом промежутке

[a;b]; 2) существует конечная производная, по крайней мере, в открытом

промежутке (a;b); 3) на концах промежутка ф-я принимает равные значения f(a)

= f(b). Тогда между точками a и b найдется такая точка с, что производная в

этой точке будет = 0.

Док-во:

По теореме о свойстве ф-ий, непрерывных на отрезке, ф-я f(x) принимает на

этом отрезке свое max и min значение.

f(x1) = M – max , f(x2) = m – min ; x1;x2 Î [a;b]

1) Пусть M = m, т.е. m £ f(x) £ M

Þ ф-я f(x) будет принимать на интервале от a до b постоянные значения,

а Þ ее производная будет равна нулю. f’(x)=0

2) Пусть M>m

Т.к. по условиям теоремы f(a) = f(b) Þ свое наименьшее или наибольшее

значение ф-я будет принимать не на концах отрезка, а Þ будет принимать

M или m во внутренней точке этого отрезка. Тогда по теореме Ферма f’(c)=0.

21. Теорема Лагранжа

Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на интервале [a;b]

2) Существует конечная производная, по крайней мере, в открытом интервале (a;b).

Тогда между a и b найдется такая точка с, что для нее выполняется следующее

равенство: (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c), a < c< b

Док-во:

Введем вспомогательную ф-ю F(x).

F(x) = f(x) - f(a) - [(f(b)-f(a))/(b-a)]*(x-a)

Эта ф-я удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) она непрерывна как разность между непрерывной и линейной функциями;

2) в открытом интервале (a;b) существует конечная производная этой ф-ии.

F’(x) = f’(x) - (f(b)-f(a))/(b-a)

3) на концах промежутка в точках a и b эта ф-я равна 0

F(a) = f(a) - f(a) - (f(b)-f(a))/(b-a)*(а - а) = 0

F(b) = f(b) - f(a) - (f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a) = 0

Þ производная в какой-либо внутренней точке с равна 0. F’(с) = 0

f’(c) - (f(b)-f(a))/(b-a) = 0, отсюда

f’(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)

Геометрическое истолкование

CB/AC = (f(b)-f(a))/(b-a)

На дуге АВ найдется по крайней мере одна точка М, в которой касательная ||

хорде АВ.

22. Теорема Коши (обобщенная теорем о конечных приращениях)

Пусть 1) существуют f(x) и g(x), которые непрерывны на [a;b]

2) существует f’(x), g’(x) в (a;b)

Между а и b найдется точка с, такая, что выполняется равенство:

(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f’(c)/g’(c), a < c < b

Применив к обеим функциям теорему Лагранжа и разделив полученные равенства,

получим требуемое.

23. Свойства выпуклости (вогнутости).

График ф-ии яв-ся выпуклым на некот промеж, если все его точки леж. ниже

люб касат, провед к этой кривой. Вогнутый - наоборот.

f”(x)<0 f”(x)>0

Точка перегиба – точка, отделяющ выпук часть непрер прямой от вогнутой части.

Необходимое условие - чтобы f”(x1)=0

Достаточное условие - смена знака второй производной при переходе через эту

точку.

3. Интегральное исчисление функций одной переменной.

1. Первообразная.

Ф-я F(x) называется первообразной ф-и f(x) на множестве D, если для любого х

из D:F’(x)=f(x).

Если F(x) первообрзная ф-и f(x) на мн-ве D, то любую другую первообразную

этой ф-и можно получить по формуле: Ф(х)=F(x)+c при некотором значение с.

Док-во. Пусть F(x) – первообразная f(x), x принадлежит D: F’(x)=f(x).

Пусть Ф(х) – другая первообразная f(x), x принадл. D: Ф’(x)=f(x).

Составим ф-ю φ(х)=Ф(х)-F(х) – дифференцируема на мн-ве D →

φ'(х)= Ф’(х)-F’(х)=f(x)-f(x)=0. По св-м ф-и, дифференцируемой на D

→ φ(х)=соnst.=c → Ф(х)-F(х)=с=const → Ф(х)=F(х)+с,

что и т.д.

2. Неопределенный интеграл и его св-ва.

Опр. Совокупность всех первообразных для ф-и f(x) на множестве наз.

Неопределенным интегралом этой функции. ∫f(x)dx=F(x)+c, f(x)-

подинтегральная ф-я ,f(x)dx – подинтегральное выражение.

Свойства.

1)[f(x)dx]’=f(x)

док-во: ∫f(x)dx=F(x)+c(по опр.), (∫f(x)dx)’= (F(x)+c)’=F’(x)=f(x)

2) d[f(x)dx] = f(x)dx

док-во: по опр. дифференциала: d[f(x)dx] = (f(x)dx)’dx=f(x)dx

3)∫dF(x)=F(x) +c

док-во: ∫dF(x)=∫F’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+c.

4)Постоянный множитель можно выносить за знак неопред. Интеграла:

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx ,x є D, k є R.

док-во: покажем, что k∫f(x)dx – совокупность первообразных для ф-и k*f(x):

По св-ву производной: (k∫f(x)dx)’=k*(∫f(x)dx)’=k*f(x).

5)∫[f(x)+(-)g(x)]dx = ∫f(x)dx +(-)∫g(x)dx/

Док-во: докажем, что ∫f(x)dx +(-)∫g(x)dx – первообразная для ф-и

[f(x)+(-)g(x)]:

По св-ву производной: [f(x)+(-)g(x)]’= [∫f(x)dx]’ +(-)[∫g(x)dx]’=

f(x)+(-)g(x), что и т.д.

3 Табличные интегралы.

Таблица интегралов

1) ∫ 0 dx = C = const 11)

∫dx/(√1-x2 )= arcsin x + C = - arccos x + C

2) ∫dx = x + C 12)

∫dx/(1+x2) = arctg x + C = - arcctg x + C

3) ∫xadx = xa+1/(a+1) + C,

13) ∫tgxdx = - ln |cosx| + C

a≠ -1 14) ∫ctgxdx = ln |sinx| + C

4) ∫dx/x = ln|x| + C 15) ∫

dx/(√a2- x2)=arcsinx/a +C=-arccos x/a + C

5) ∫exdx = ex + C

16) ∫dx/(a2+x2) =

(1/a)arctg x/a + C=-(1/a)arcctg x/a + C

6) ∫axdx = ax/lnx + C

17) ∫dx/(x2–a2) =

(1/2a) ln |(x-a)/(x+a)| + C

7) ∫cosx dx = sinx + C 18) ∫dx/(a

2-x2) = (1/2a) ln |(x+a)/(x-a)| + C

8) ∫sinxdx = - cosx + C 19)

∫dx/(√x2+A) = ln |x + (√x2+A)| + C

9) ∫dx/cos2x = tgx + C

20) ∫(√x2+A)dx = (x/2)(√x2+A) + (A/2) ln |x+(√x2+A)|+C

10) ∫dx/sin2x = - ctgx + C

21) ∫ (√a2- x2)dx = (a2/2) arcsin x/a + (x/2) (√a2- x2) + C

4. Метод замены переменной или метод подстановки

∫f(x)dx, x Î D

Пусть x = φ(t), t Î T, φ(t) – дифференцируема на T и имеет

обратную функцию

Докажем, что ∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt, т. е.

докажем, что ∫f(x)dx – первообразная f(φ(t))•φ’(t)

(∫f(x)dx)t’(по правилу дифференцирования сложной функции) =

(∫f(x)dx)x’ • x’t = f(x)•φ’(t) =

f(φ(t))•φ’(t)

∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt – формула замены

переменной в неопределенном интеграле

5. Метод интегрирования по частям

Пусть u = u(x), v = v(x) – дифференцируемы на D

d(u•v) = du•v + u•dv Þ ∫ d(u•v) = ∫du•v + ∫u•dv

Þ u•v = ∫v•du + ∫u•dv Þ

∫u•dv = u•v - ∫v•du – формула интегрирования по частям

Применение данной формулы:

1. Pn (x)•φ(x)dx; Pn (x) – многочлен n-ой степени

а) φ(x) = sin ax u = Pn (x); dv = φ(x)dx

cos ax

eKx

b) φ(x) = обратные тригонометрические функции u = φ(x); dv =

Pn (x)dx

logax

2. ekx•sin ax dx в этом случае любой из множителей можно принять

ekx•cos ax dx за u

5. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов