частных производных первого порядка.

9 Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.

Достаточное условие экстремума.

Точка М0 называется точкой локального максимума (минимума)

функции f(x,y), если существует такая окрестность точки М0, в которой

для любой точки М(х,у) выполняется неравенство f(M)£f(M0)

(f(M)³f(M0)).

Точки локального экстремума называются просто точками экстремума.

Необходимое условие существования экстремума.Если функция f(x,y)

имеет частные производные первого порядка в точке локального экстремума М

0(х0,у0), то f¢x(M0

)=f¢y(M0)=0.

Доказательство.Рассмотрим сначала функцию одной переменной f(x,y0

). Производная этой функции совпадает с частной производной f¢x

(x,y0), а сама функция имеет локальный экстремум в точке х0

. Следовательно, производная функция f(x,y0) в точке х0

равна нулю, т.е. f¢х(x,y0)=0. Аналогично функция от

одной переменной f(x,y0) имеет локальный экстремум в точке у=у0

. Следовательно, её производная в этой точке равна нулю, т.е. f¢у

(x,y0)=0.

Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но не

достаточное условие существования экстремум.

Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называют

Достаточное условие существования экстремума. Пусть функция f(x,y)

имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности

стационарной точки М0(x0,y0). Положим D=

f¢¢xx(M0)f¢¢yy(M0

) – (f¢¢xy(M0)2. тогда :

1. если D>0, то в точке М0 функция имеет локальный

экстремум, причём f¢¢xx(M0)<0 – локальный

максимум, при f¢¢xx(M0)>0 – локальный

минимум;

2. если D<0, то в точке М0 нет экстремума.

3. если D=0, то требуются дополнительные исследования.

(в лекциях 2-го семестра доказательства не приводилось, если есть большая

тяга к знаниям, то см учебник стр 182-185).

10. Наибольшее и наименьшее значения функции на ограниченном замкнутом

множестве.

Схема исследования функции на экстремум.

1. z¢x, z¢y

2. Найти критические точки. z¢x=0, z¢y=0

3. Взять производные z¢¢xx,z¢¢yy,z¢¢xy,z¢¢yx.

4. C помощью условия существования экстремум сделать вывод.

Теорема Вейерштрасса.Если функция z=f(x,y) непрерывна на

замкнутом, ограниченном множестве, то на этом множестве функция принимает

наибольшее и наименьшее значение.

Правило нахождения максимума и минимума для функции от двух переменных.

1. Найти ОДЗ и обедиться, что оно замкнутое и ограниченное.

2. Исследовать на экстремум, вычислить значение функции.

3. Вычислить значения функции на границах ОДЗ.

4. Из всех значений выбрать наибольшее и наименьшее.

11. Метод наименьших квадратов.

(рассмотрим для двух величин, остальные аналогично0Пусть (Х,У) – система двух

случайных величин. Задача – исследовать связь между Х и У.

М(У/Х=х) – условные математические ожидания случайной величины У при условии,

что Х=х (х – фиксированное число) М(У/Х=х)=f(x). Уравнение y=f(x) называется

уравнением регрессии СВ У на СВ Ч. Будем приближать функцию y=f(x) к прямой

y=kx+b, т.е. попытаемся подобрать k,b так, чтобы y=kx+b как можно лучше

апроксимировать функцию y=f(x). В качестве прямой y=kx+b предлагается выбрать

ту, на которую лучше всего «ложаться» экспериментальные точки. у1=kx

1+b Þ Е21= (y1-(kx1+b))

2 характеризует степень удалённости точки (х1,у1) от

прямой y=kx+b Е22= (y2-(kx2+b))

2 и т.д. Естественный критерий, характеризующий близость всей совокупности

точек к прямой y=kx+b К=åni=1E2i

. К=к(к,b) – функция двух переменных. Найдём такие к*,b*,

которые минимизируют значение К.

К(к,b)= åni=1(yi-(kxi+b))2 Необходимое условие экстремума. DК/Dк=0; DК/Db=0

DК/Dк=åni=12(yi-(kxi+b))(-хi)=0

kåni=1 хi2+båni=1 хi =åni=1 хi yi ;

DК/Db=åni=12(yi-(kxi+b))(-1)=0

åni=1 yi -kåni=1 хi-nb=0.

íì kåni=1 хi2+båni=1 хi =åni=1 хi yi

î kåni=1 хi+nb=åni=1 yi

cистема двух линейных уравнений с двумя неизвестными к и b.

12. Выпуклые функции в Rn и их свойства.

Отрезок в Rn с концами a, b Î Rn – это множество точек

х (t)= (1-t) a + t b,

где t произвольное число из промежутка [0; 1]. Отрезок с концами a, b

обозначается [ a, b ]. Отрезок [ a, b ] совпадает с множеством точек в Rn

, представимых в виде с = aа + bb , где a,b - произвольные неотрицательные числа

такие, что a+b=1. Множество Р Ì Rn называется выпуклым

, если вместе с любыми двумя точками a, bÎР оно содержит и весь отрезок [

a, b ]. Функция n переменных f (х), определенная на выпуклом множестве

РÌRn , называется выпуклой, если для любых двух точек

a, b Î Р и любых двух чисел a,bÎ[0; 1] таких, что a+b=1,

выполняется неравенство

f (aа + bb) ≤ a f (а) + b f (b)

Для непрерывной функции, заданной на выпуклом множестве Р , следующие условия

равносильны:

1) f выпукла;

Неравенство из пункта 4 называется неравенством Йесена. выпуклая функция наз.

строго выпуклой, если неравенство f (aа + bb) ≤ a f

(а) + b f (b) строгое при всех a, b из области определения

функции и α,β ≥0 таких, что α+β=1.

Функция f наз. (строго) вогнутой, если –f (строго) выпукла, т.е.

f (aа + bb) ≥ a f (а) + b f (b)

Линейная функция f(x)=(c,x)+c0 одновременно выпукла и вогнута, но не строго.

Свойства выпуклых функций.

1. функция с выпуклой областью определения Р Ì Rn

выпукла тогда и только тогда, когда выпукло множество Нf

={(х,у):хÎР, у≥f(x)} (из Rn+1)

называемое надграфиком функции f(x).

2. Если f(x) выпукла, то функция αf(x) выпукла при

α>0 и вогнута при α<0.

3. Если f(x) выпукла на Р, то множество Uf

(α)={х:f(x) ≤α} выпукло при любом α.

(обратное утверждение неверно).

4. Сумма любого числа выпуклых функций на множестве Р Ì Rn

выпуклана Р , если при этом хотя бы одна из суммируемых функций строго выпукла,

то вся сумма строго выпукла.

5. Пусть Р Ì Rn – выпуклое множество, и для каждого

i=1,2,.k пусть li(x) – линейная функция n переменных , а

fi(t) – функция одной переменной , выпуклая на li

(Р). Тогда функция F(х)=f1 ( l1(x))+.+ fК

( lК(x)) выпукла на Р. При этом, если все функции fi

(t) строго выпуклы и любая точка однозначно определяется набором ( l

1(а)+.+ lК(а)), то F(х) строго выпукла.

6. Пусть f выпукла на Р Ì Rn , а φ(t) –

возрастающая выпуклая функция на множестве f(Р) ÌR, тогда

F(х)= φ(f(x)) выпукла на Р. Если f(x) строго выпукла, то и F(х)

строго выпукла.

7. Дифференциируемая функция f(x) выпукла на множестве Р

Ì Rn тогда и только тогда, когда (grad f(a), b-a)

≤f(b)-f(a) для любых a,bÎР

8. Пусть f(x) – функция, непрерывная на отрезке [ a, b

]ÌR и дважды дифференциируемая на (a, b). Для выпуклости функции f

(x) на [ a, b ] необходимо и достаточно выполнение неравенства f˝

(x)≥0 для всех tÎ (a, b). Для строгой выпуклости f(x)

добавляется условие f˝(x)≠0 ни на одном интервале,

содержащемся в (a, b).

9. Пусть D –

выпуклое открытое множество в пространстве Rn, f(x)=f

(x1,.,хn) – функция, имеющая в D непрерывные частные

производные второго порядка. Для каждой точки хÎ D положим

и составим матрицу

C=Cij(X). Функция f(x) строго выпукла на множестве D , если в каждой

точке хÎ D выполняются следующие неравенства

∆1=с11>0,

., ∆n=det

c>0

Экстремальные значения выпуклых и вогнутых функций.

1.Если х* - точка локального минимума (максимума) выпуклой (вогнутой) функции

f(x) на выпуклом множестве Р Ì Rn то f(x*) –

наименьшее (наибольшее) значение f(x) на Р. Если f(x) строго

выпукла (вогнута), то х* - единственная точка глобального экстремума.

2.Пусть f(x) – выпуклая (вогнутая) функция на выпуклом множестве Р

Ì Rn и пусть grad f(x*)=0. Тогда х* -точка

глобального минимума (максимума) f(x) на Р.

13. Множители Лагранжа и теорема Куна-Таккера.

рассмотрим следующую задачу, называемую задачей вогнутого программирования:

найти точку глобального максимума вогнутой функции f(x) на выпуклом

множестве Р Ì Rn , заданном системой неравенств:

ó g1(x)³0,

î ....

ì g s(x)³0

ì g s(x)³0

î x³0

где g1(х),., g s(x) – вогнутые функции. для решения

вводят функцию Лагранжа F(x,l)=f(x)+l1 g1(x)+.+l

s g s(x), где l=(l1,.,l s) –

вектор множителей Лагранжа. Предположим, что все функции дифференциируемы и

существует точка х³0, для которой все тривиальные неравенства из системы

уравнений строгие. Точка х*³0 является точкой глобального максимума f

(x) на Р в том случае, когда существует вектор l*=(l*1,.,

l*s)³0, такой, что выполняются условия:

gradxF(x*, l*)£0;

(gradxF(x*, l*);х*)=0

gradlF(x*, l*)³0

(gradlF(x*, l*);l*)=0

Эти условия означают, что точка (x*, l*) является седловой точкой

функции F(x, l), т.е. F(x, l*)£ F(x*, l*)£ F(x*, l)

5. Числове и функциональные ряды.

Числовым рядом наз-ся бесконечная последовательность чисел, соединенная

знаком сложения: а1+а2+.+ак +.=∑к=1∞ак.

Где а1,.,ак- члены числового ряда

Введем след. Обозначения: Sк = ∑к=1каi = а1+а2+.+ак

- n-ая частичная сумма числового ряда: к=1, то Sк=а1,к=2, то Sк=а1+а2,.к: Sк

= а1+а2+.+ак, т.е. видно, что частичная сумма образует числ.

Последовательность.

Числ ряд наз сходящимся, и его сумма в этом случае будет равна S, если сущ-т

конечные предел последовательности частичных сумм, котрый равен S: LimSk=S,

k→∞. В противном случае числ ряд расходится.

Св-ва сходящихся числ. Рядов.

Рассмотрим 2 числ ряда:

а1+а2+.+ак +.=∑к=1∞ак. (1)

в1+в2+.+вк +.=∑к=1∞вк ( 2)

Опр.

1).Суммой этих рядов наз ряд. Каждый член которого равен сумме

соответствующих членов рядов (1) и (2).

2) Ряд , каждый член которого равен произведению соответствующего члена ряда

(1) на одно и то же действительное число, наз произведением ряда на

действительное число λ.

Св-ва.

1)Если ряд (2) сходится, и его сумма равна S, тогда произведение этого ряда

на действительное число также сходится, и его сумма будет равна λS.

Док-во: Пусть Sk- частичная сумма ряда (2), sk - частичная сумма ряда

λ в1+ λ в2+.+λ вк +., ясно, что λ Sk = sk. Переходя к

пределу, получим:

Lim sk=lim λSk= λlimSk= λS(k→∞)

2)Если ряды (1) и (2) сходятся, и их суммы соответственно равны S, S’, то ряд

из определения 1) (назовем его (3)) также сходится, а его сумма будет равна

S+S’.

Док-во: Qk=Sk+Tk, где Qk, Sk,Tk – сответственно частич суммы рядо (1), (2),

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12