|
для всех значений переменной х.
Решение.
Задача сводится к решению неравенства 
. По теореме Пифагора, выполняется система условий:
Значит, функция  убывает, и  . Тогда  при  и  при  , чему соответствует следующий
Ответ: 
Таким образом, в этом параграфе рассматривались различные примеры решений
показательных неравенств с использованием свойств показательной функции.
§5 Логарифмические неравенства.
Пусть а – фиксированное число такое, что  и  .
Рассмотрим неравенства
 (1)
 (2)
Областью допустимых значений этих неравенств является положительная полуось.
Поскольку свойства логарифмической функции различны при основаниях, меньших и
больших единицы, то рассмотрим случаи 
и  .
Схема сравнения логарифмических неравенств.
Пример.
Найти все значения а, при каждом из которых неравенство  выполняется для всех х.
Решение.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Система 1) не может выполняться ни при одном х, так как
Ответ:  .
При решении логарифмических неравенств, содержащих несколько различных
функций под знаком логарифмов, рекомендуется сначала найти область
определения исходного выражения, и лишь затем совершать преобразования, в
ходе которых область определения может сужаться или расширяться.
Пример.
Решить неравенство
 .
Решение.
Ключевым моментом в решении данного неравенства является поиск его области
определения.
Выяснить, что область определения неравенства состоит только из двух точек.
Осталось подстановкой выяснить, какие из этих точек удовлетворяют неравенству.
При  неравенство принимает вид  - истинно.
При  неравенство принимает вид 
 - ложно.
Ответ:  .
Пример.
Какое из двух чисел больше  или  ?
Решение.
Упростим запись каждого из двух чисел:
.
 ,
Так как  , и функция 
монотонно возрастает на 
, получим, что первое число меньше 1, а второе число больше 1.
Ответ:  <  .
Рассмотрим неравенства вида
Пример.
Решить неравенство
Решение.
Согласно схеме (I), заменим данное неравенство равносильной совокупностью:
Ответ:  ,  .
Пример.
Решить неравенство
Решение.
Функция  монотонно
возрастает для  ,
как сумма двух монотонно возрастающих функций, 
. Поэтому  .
Ответ: 
При решении неравенства воспользовались следующим утверждением:
Пусть функция 
монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом
промежутке принадлежат Е, тогда неравенство примет вид:
Следствие:
Покажем, как используются логарифмические неравенства для решения более
сложных задач. Например, для нахождения области определения функции или
множества значений данной функции.
Для нахождения области определения логарифмической функции 
необходимо найти множество значений 
, при которых выполняется условие 
. Решение заданий с дополнительными требованиями «указать длину промежутка, на
котором функция определена», «при каком целом значении х функция
определена» сводится к двум этапам:
I этап – находят все значения х, при которых  ;
II этап – делают выборку значений х из полученного промежутка согласно
дополнительному требованию.
Пример.
Укажите длину промежутка области определения функции
 .
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
| 
