|
3.
Решим неравенство  .
4. Функции  и  очевидно, монотонны.
5. Построим график функции  (рис.2).
6. Из графика функции 
очевидно, что она монотонна и принимает положительные значения на промежутке 
.
7.  Таким образом, в
числителе и знаменателе дроби 
мы имеем три монотонных функции, обращающиеся в нуль соответственно в точках -3,
2, 3.
8. Эти три точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: 
,  , 
,  , на последнем из
которых  (рис.3).
9. Следовательно, неравенство  имеет место при  , а также  .
Ответ: 
Таким образом, при решении линейных неравенств можно использовать свойства
линейной функции, а также использовать графическую интерпретацию решений
линейных неравенств.
§2 Квадратичные неравенства.
Ранее при решении квадратичных неравенств в школьном курсе использовалась
методика, по которой решение неравенств вида  
0 основывалась на результате исследования квадратного трехчлена, полученного
путем довольно сложных аналитических рассуждений.
Принципиально иная методика изложения вопроса о решении неравенств второй
степени с одной переменной предлагается сейчас в VIII классе. При решении
неравенств вида  
0 используются соображения о расположении графика квадратичной функции
относительно оси ОХ, которое определяется двумя условиями:
1) является ли значение дискриминанта D квадратичного трехчлена 
положительным числом, нулем или отрицательным числом;
2) Какой знак коэффициента а.
Изобразим схематически возможные случаи расположения графика квадратичной
функции в зависимости от а, D.
В результате определенной тренировки учащиеся привыкают пользоваться такой
системой, а затем ее мысленным образом.
Аналогично можно составить схему решений неравенства вида 
Заметим, что для использования графических соображений нет необходимости
изображать параболы, достаточно мысленно представить, как расположена эта
парабола в координатной плоскости.
Пусть, например, требуется решить неравенство 
. Вычислив дискриминант D трехчлена 
, находим, что D = 9, т.е. D > 0. Значит, парабола 
пересекает ось ОХ в двух точках. Чтобы найти абсциссы этих точек, вычисляем
корни трехчлена, они равны 0,5 и 2. Учитывая, что ветви параболы направлены
вверх и что парабола пересекает ось Х в точках 0,5 и 2, изображаем ее
схематически (или мысленно представим). Используя рисунок устанавливаем, что
множество решений неравенства 
есть  .
Приведем решение одного неравенства, которое развивает у учащихся навыки
работы с квадратичными неравенствами.
Пример.
При каком условии решения неравенства 
находятся между корнями квадратного трехчлена 
?
Решение.
Рассмотрим функцию  . Графиком функции является парабола.
1) если  , то ветви параболы направлены вверх.
а. Если  , то
парабола имеет с осью ОХ две точки пересечения, значит, решением неравенства
являются значения 
, но они не удовлетворяют поставленной задаче.
б. Если  , то
парабола не имеет с осью ОХ точек пересечения. Решением неравенства являются
все действительные числа, что опять не удовлетворяет условию.
2) Если  , то ветви параболы направлены вниз.
а. Если  , то решений нет.
б. Если  , то решений нет.
в. Если  , то  - эти значений удовлетворяют условию задачи.
Значит, при  , 
решения неравенства 
находятся между корнями квадратного трехчлена 
.
Ответ: при  ,  .
Перейдем к рассмотрению конкретных примеров.
Пример.
Для каждого значения а решите неравенство
Решение.
 или  ;
 или  .
При  При  .
Рассмотрим функцию  .
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
| 
