|
, функция 
монотонно возрастает на множестве 
,  и 
.
1) Для  имеем:
 и  .
Поэтому при всех 
верно  , то есть 
- отделяющая константа, и неравенство на этом интервале не имеет решений.
2) Для  выполняются неравенства:
 и  .
Поэтому весь интервал 
является решением неравенства, где 
- отделяющая константа.
Если  , то неравенство перепишем в виде  .
Очевидно, что при всех   всегда.
Отсюда ясно:
3) Если  , то  и исходное неравенство не выполняется ( ).
4) Если  , то
одной константой обойтись не удается. Поэтому представим (0; 2) в виде
объединения промежутков 
.
4а)  и  . Исходное неравенство не выполняется ( ).
4б)  и  .
Докажем, что  . Поэтому исходное неравенство не имеет решений для  , где  .
Ответ:  .
Рассмотрим задачи на отыскание геометрических точек, координаты которых
задаются неравенствами с использованием логарифмических функций.
Пример.
Изобразить на плоскости (х; у) множество точек, координаты которых
удовлетворяют неравенству 
.
Решение.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
 .
Сделаем рисунки, отвечающие системам 1) и 2).
Ответ:
Пример.
При каких значениях а сумма  и  будет больше единицы при всех х?
Решение.
1) Выделим целые части в выражениях, стоящих под знаком логарифма:
.
2) Оба логарифмических выражения определены при всех х. Их сумма равна
 , где  .
Функция  четная,
убывает, стремясь к нулю, при неограниченном возрастании 
, а ее наибольшее значение равно 1. Значит, 
3) При 
логарифмическая функция с основанием а возрастает. Значит, получаем 
. Парабола 
симметрична относительно прямой 
и возрастает на  .
Значит, для того, чтобы функция принимала положительные значения на этом
промежутке, нужно, чтобы было неотрицательное значение в левом конные
промежутка  , т.е.
4) При  получаем
неравенство  при
всех  . Для того,
чтобы функция принимала отрицательные значения на этом промежутке данной
квадратичной функции, нужна ее отрицательность в правом конце 
, т.е.  
;  , что противоречит
неравенству  .
Ответ:  .
Таким образом в этом параграфе были рассмотрены различные примеры на решение
логарифмических неравенств на основе свойств логарифмической функции.
§6 Некоторые лжепреобразования.
Для того чтобы научиться решать неравенства, следует хорошо разбираться во
всех вопросах, связанных с решением уравнений. Логическая сторона решения
неравенств более содержательна по сравнению с уравнениями. Отметим, что
многие преобразования, которые лишь расширяют область допустимых значений
неравенства и приобретению посторонних корней (например, отбрасывание
знаменателя, возведение в квадрат и т.п.) могут повлечь за собой потерю
решения, а то и вообще принципиально неверный ответ.
Пример.
Решить неравенство:
а)  ; б) 
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
| 
