Если , то решений нет.

Рассмотрим еще один довольно сложный пример, в котом обсудим два способа его

решения: с производными и без них.

Пример.

Найдите значения х, при которых выражение принимает наибольшее значение.

Решение 1 (с производной).

Найдем производную функции

.

,

где .

Так как важен только знак производной, а ее знаменатель положителен, то

достаточно исследовать знак числителя:

Так как производная отрицательна, то функция убывает и, значит, ее наибольшее

значение достигается в минимальной точке области определения, т.е. в точке

х = 4.

Решение 2 (без производной).

Сделаем замену переменной

. Тогда .

Рассмотрим обратное выражение у-1 и исследуем его на минимум.

, причем знак равенства, т.е. наименьшее значение достигается только при .

Ответ: х = 4.

Второе решение кратко и нетрадиционно. Тут требуется разумно ввести новую

переменную, перейти к обратному выражению и догадаться, каким образом следует

искать наименьшее значение выражения

. Хорошо подготовленный учащийся может сразу вспомнить, что сумма

положительного числа и обратного ему сила всегда не меньше 2 или сослаться на

неравенство о среднем геометрическом двух неотрицательных чисел:

.

Рассмотрим неравенство вида

Пример.

Решить неравенство

.

Решение.

По схеме, данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Ответ: , .

Таким образом в этом параграфе показано использование свойств функции к

решению иррациональных неравенств.

§4 Показательные неравенства.

Пусть а – фиксированное число, такое, что а > 0 и . Рассмотрим неравенства

(1)

(2)

Область допустимых значений этих неравенств совпадает со всей числовой прямой,

функция

положительна и строго монотонна, следовательно, при

неравенство (1) выполняется при любом х из области допустимых значений,

а неравенство (2) не имеет решений. При

приходится рассмотреть два случая: а > 1 и 1 > a > 0.

Пусть а > 1, тогда на всей числовой прямой функция

является возрастающей (рис.1). Значение, равное b, она принимает в

единственной точке

, и поэтому решением неравенства (1) является все

, а решением неравенства (2) – все

.

Пусть , тогда на

всей числовой прямой функция

является убывающей (рис.2), и поэтому решением неравенства (1) являются все

, а решением неравенства (2) – все

, где .

Изобразим изложенное выше в виде следующей наглядной схемы:

Пример 1.

Для каждого значения а решить неравенство

.

Решение.

Запишем неравенство в виде:

Ответ: при ; при ,

В этом параграфе мы покажем, как на основе свойств показательной функции

различные типы показательных неравенств сводятся к решению простейших

показательных неравенств.

Рассмотрим неравенство вида:

.

Решение.

Обозначив , получим . Пусть решение последнего неравенства имеет вид:

где и .

Тогда простейшее неравенство

не имеет решений, а неравенство

решается по схеме 1. Сразу выпишем в этом случае ответ.

Ответ: при , ;

при ,

Сформулируем в виде краткой схемы решение трех аналогичных показательных

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13