равносильности.

Т.1. При натуральном n, уравнение равносильно системе

Т.2. При неравенство равносильно системе неравенств

Т.3. При неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств и .

Из этих теорем следует, что решение иррациональных неравенств сводится к

решению рациональных уравнений. Важно при решении иррациональных неравенств

обращать особое внимание на область допустимых значений функций.

Например, решить неравенства:

а) , выполнимо при ;

б) согласно

области определения неравенство не выполняется ни при каких значениях х

;

в) . Данное неравенство выполнимо только при а>0 и x<-1;

г) выполнимо при а любом и ;

д) . Так как

согласно определению квадратного корня левая часть неравенства должна быть

неотрицательной, то неравенство с учетом области определения примет вид

.

Таким образом, при решении неравенств, содержащих иррациональности,

необходимо обязательно использовать свойства, входящих в него функций.

Обобщая изложенное можно сделать заключение о том, что заменяя, скажем,

неравенство

неравенством, мы применяем к обеим частям исходного неравенства функцию

.

Если применяемая функция монотонно возрастает на участке, где расположены

значения левой и правой частей неравенства, то такое преобразование неравенства

являются равносильными и, следовательно его применение не приводит к ошибкам в

ответе. В противном случае возможны ошибки. Но функция

монотонно возрастает только на луче

, поэтому возводить в квадрат обе части неравенства можно только убедившись

предварительно в их неотрицательности.

В случае условие

вытекает из строения области определения функции

, условие должно

выполняться в силу неравенства

, поэтому возможно возведение в квадрат.

Неравенство вида:

.

Возведение в куб обеих частей приводит к равносильному неравенству, поскольку

функция монотонно

возрастает на всей числовой прямой.

Пример.

Найти все значения а, при каждом из которых корни уравнения

существуют и принадлежат отрезку [2;17].

Решение.

Произведем замену

.

По условию , то есть .

После замены уравнение принимает вид

Преобразуем теперь задачу.

Найти все значения а, при каждом из которых корни уравнения

существуют и принадлежат отрезку

.

Воспользуемся графическим способом решения. Построим графику функции

. Для этого построим схему знаков и найдем аналитическое выражение для функции

z на различных участках.

Найдем значения:

Если теперь провести горизонтальные прямые

для различных значений а, то из графика видно, что для значений

и только для них существуют прямые

:

1) пересекают график функции;

2) все точки пересечения имеют абсциссы только на отрезке [1; 4], то есть

выполняются условия задачи.

Ответ:

Пример.

Решить систему уравнений

Решение. Вычтем из первого уравнения второе. Получим .

Рассмотрим функцию . Она возрастающая. Имеем . Следовательно, . Отсюда .

Это уравнение равносильно системе:

Очевидно, что .

Ответ: Если , то ;

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13