в) ; г) ;

д) .

Такие простые неравенства, часто возникающие в процессе решения более

сложных, доставляют неприятности тем учащимся, которые не очень четко

понимают смысл знаков неравенства и существа, стоящие перед ними задачи.

Для того чтобы избежать недоразумений, достаточно лишь ясно понимать, что

нестрогое неравенство справедливо как в случае соответствующего строго

неравенства, так и в случае равенства, ни никак не в случае одновременного их

выполнения, а также не забывать отбрасывать те значения неизвестной, которые

не входят в ОДЗ.

Ответ: а) ; б) г) д) .

Ключевой момент в решении неравенства – преобразование неравенств к виду, в

котором левая часть представляет собой произведение каких-либо выражений

, а правая равно нулю.

Однако, как показывает опыт, учащиеся часто путаются при разложении

неравенств на множители, выписывая либо не все возможные, либо вовсе не те

случаи и получая в результате неверный ответ.

Пример.

Решить неравенство

.

Приведем наиболее типичное ошибочное рассуждение: «Поскольку квадратный корень

всегда неотрицателен, то исходное неравенство равносильно неравенству

» Действительно, выражение

не может быть отрицательным ни при каком значении х. Но если оно равно

нулю, то совершенно безразлично, чему при этом равно выражение

- неравенство то будет справедливо.

Решение.

Неравенство равносильно совокупности систем:

Ответ: .

Помимо описанных лжепреобразований часто допускаются ошибки, так как не

учитываются свойства функции из-за обыкновенной невнимательности.

Пример.

Решить неравенство:

Многие сочил возможным обратить дробь в обеих частях неравенства, поменяв его

знак и получив неравенство

При этом возникает сомнение в правомерности такого заключения в случае, когда

левая часть неравенства отрицательна. Благодаря такому преобразованию были

потеряны два интервала решений, при которых

Ответ: .

То есть при решении неравенств учащиеся забывают о свойствах функций,

входящих в состав неравенство, что приводит к неверному решению.

Известная осторожность нужна при решении неравенств, содержащих радикалы,

которые обычно решаются с помощью возведения обеих частей в квадрат. И если для

уравнения такое преобразование никогда не приводит к потере корней, то для

неравенств аналогичный вывод сделать нельзя: при возведении в квадрат, к

примеру, обеих частей неравенства

получается неравенство

, которое не содержит среди своих решений ни одного числа из интервала (-1; 1),

в то время, как исходному неравенству такие числа удовлетворяют. В связи с этим

особое значение приобретает следующее основное правило: возводить в квадрат

запрещается при тех значениях неизвестной, при которых хотя бы одни из частей

неравенства отрицательна.

Пример.

Решить неравенство

Приведем пример неверного рассуждения:

«Применение правила возведения в квадрат облегчается в данном случае тем

обстоятельством, что левая часть неравенства неотрицательна, ибо она больше

правой, которая тоже неотрицательна. Поэтому данное неравенство можно смело

возводить в квадрат». Здесь мы видим попытку подменить исследование знаков

левой и правой частей неравенства при различных значениях неизвестной

величины исследованием знака самого неравенства. Чтобы спасти такое

утверждение, потребовалась бы проверка всех решений, которых бесконечно

много.

Решение.

Подчеркнем, что при

решений нет в силу неотрицательности иррациональной функции.

То есть если относиться к решению не творчески, а чисто механически, без

выделения свойств функций, то существует большая вероятность ошибок.

Глава III. Заключение.

Функциональный метод решения неравенств позволяет сделать более осмысленным

их изучение.

Свойства функции, геометрические образы необходимо широко использовать при

изучении неравенств.

В курсе математики в школе должна проводиться установка на то, что требования

решить неравенство эквивалентно требованию найти множество значений аргумента,

при которых значение функций

больше или меньше соответствующих значений функции

.

От учащихся требуется во всякой конкретной задаче отвлечься от несущественных

деталей и увидеть в ней общее функциональное содержание: найти реальные

области изменения величин, выяснить характер их зависимости.

Решение таких задач воспитывает:

- умение схематизировать;

- развивает интуицию;

- прививает навыки дедуктивного мышления;

- развивает творческие исследовательские способности.

Иначе говоря, способствует развитию математической культуры, играет большую

роль для развития личности учащихся. То есть имеет большое педагогическое

значение.

Эта работа может быть полезна учащимся школ, учителям для подготовки к сдаче

единого государственного экзамена.

Литература.

1. М.А.Алилов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала

анализа» Пробный учебник для 10-11 кл. средней школы. М.: «Просвещение» 2002

г.

2. В.Г.Болтянский, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин «Лекции и

задачи по элементарной математике» М.: Изд. «Наука» 1974 г.

3. В.В.Вавилов, И.И.Мельников и др. «Задачи по

математике. Уравнения и неравенства» М.: Изд. «Наука» 1987 г.

4. Я.И.Груденов «Совершенствование методики работы

учителя математики» Книга для учащихся. М.: «Просвещение» 1988 г.

5. В.А.Гусев, А.Г.Мордович «Математика. Справочные

материалы» Книга для учащихся М.: «Просвещение» 1990 г.

6. Л.О.Денищев, Е.М.Бойченко и др. «Готовимся к

единому государственному экзамену» Математика Изд. «Дрофа» 2004 г.

7. Звавич «Сборник задач по алгебре 8-9» Учебное

пособие для учащихся школ с углубленным изучением математики

8. С.В.Кравцов, Б.Н.Макаров и др. «Методы решения

задач по алгебре» Экзамен «Оникс 21 век» М.: 2001 г.

9. Под.ред. Г.С.Ковалевой «ЕГЭ Математика»

Контрольные измерительные материалы. М.: «Просвещение» 2003 г.

10. Под ред. А.Н.Комигорова «Алгебра и начала анализа 10-

11» М.: «Просвещение» 1990 г.

11. Т.М.Королева, Е.Г. Маркорян, Ю.М.Нейман «Пособие по

математики в помощь участникам компьютерного тестирования» М.: 2002 г.

12. Клово А.Т., Калашников В.Ю. и др. «Пособие для

подготовки к ЕГЭ по математике» М.: 2004 г.

13. Ф.Ф.Лысенко, В.Ю.Калашников «Подготовка к ЕГЭ по

математике» Ростов-на-Дону 2002 г.

14. Мельников М.М., Сергеев И.Н. «Как решать задачи по

математике на вступительных экзаменах» М.: 1994 г.

15. Под ред. В.И.Мишина «Методика преподавания математики

в средней школе» Частная методика М.: «Просвещение» 1987 г.

16. Под ред. Ю.Н. Макарычева и Н.Г.Миндюк «Преподавание

алгебры в 6-8 классах» М.: «Просвещение» 1980 г.

17. И.И.Мельников, И.Н. Сергеев «Как решать задачи по

математике на вступительных экзаменах», М.: Издательство МТУ, 1990 г.

18. Е.А.Семенко «Обобщающее повторение в курсе алгебры

основной школы» Кубанский государственный университет. Краснодар 2003 г.

19. М.К.Потапов, В.В.Александров, П.И.Пасиченко «Лекции

по алгебре и элементарным функциям» Изд. Москва МТУ 1978 г.

20. М.И.Сканави «Сборник задач по математике для

поступающих во ВТУЗы». Ташкент «Учитавчи» 1992 г.

21. Под ред. Теляковского С.Л. «Алгебра» учебник для 9

кл. общественных учреждений. М.: «Просвещение» 1995 г.

22. Л.М.Фридман, Е.Н. Турецкий «Как научиться решать

задачи» Книга для учащихся старших классов средней школы. М.: «Просвещение»

1987 г.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13