Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

1) Если , то неравенство .

2) Если и , то

3) если и , то график функции имеет вид

4) Если , то неравенство решений не имеет

Ответ: при и , ;

при и , .

Рассмотрим примеры решений более сложных неравенств.

Пример.

Решение.

1.Построим графики функций и

2. Решением неравенства являются действительные числа х, для которых

график функции

расположен выше графика функции

.

3. Из рассмотрения рисунка следует, что решениями неравенства

являются все числа х из интервала

Ответ: .

Пример.

Найти все значение параметра q, при каждом из которых множество решений

неравенства не

содержит не одного решения неравенства

.

Решение.

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:

1) и 2)

Изобразим на плоскости хОq решение этих систем (рис.2).

Множество значений

является решением неравенства

. Поэтому необходимо, чтобы полученные решения неравенств не лежали в полосе

.

Из графика (рис.2) видно, что при и решения неравенств не лежат в полосе .

Ответ: при исходное неравенство не содержит ни одного решение неравенства .

Пример 3.

Найти все значения параметра а, при которых неравенство

имеет хотя бы одно отрицательное значение.

Решение.

Решим эту систему графически. Для этого в системе координат хОа построим

графики функций:

1) , координаты вершины ;

2) , координаты вершины .

Так как решения неравенства, согласно условию, должны быть отрицательны, то из

построенного графика (рис.3) видно, что

.

Ответ: .

	Рис.3

Рассмотрим еще один пример применения квадратичных неравенств для решения

уравнений.

Пример.

Сколько корней больших -1, в зависимости от параметра а, имеет уравнение ?

Решение.

Для оценки существования решения уравнения найдем его дискриминант:

или . Рассмотрим

функцию: . Так как

коэффициент при

равен 1, то есть ветви параболы направлены вверх, то, используя таблицу 1,

получим 2 случая.

1. Уравнение будет иметь корень больше -1, если выполняются условия:

1) , (рис.1)

или ,

отсюда .

Учитывая найденные значения, получим систему:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13