|
Решение.
1) Найдем значения х, при которых  , 
2) Найдем область определения функции
 ,
 .
Далее по схеме 1, так как основание логарифма  , то
 
3) Объединяя полученные промежутки, получаем  .
Таким образом, длина промежутка области определения данной функции равна 1.
Ответ: 1.
При нахождении области значений функции 
необходимо прежде всего найти множество значений функции 
, а затем на основании свойства логарифмической функции 
указать область значений 
. Если в задании есть дополнительные требования, то решение будет состоять из
трех этапов:
I этап – находим область значений  ;
II этап – находим область значений  ;
III этап – выполняем дополнительные требования.
Пример.
Укажите наименьшее значение функции
Решение.
1) Определим множество значений функции:  . Выделив полный квадрат, получим
 .
Так как  для всех действительных х, то  .
2) Таким образом, поскольку  , а  - возрастающая функция, то
 ,
 .
3) Область значений функции представляет собой луч  .
4) Наименьшее значение на этом луче равно 3.
Ответ: 3.
Покажем на примерах применение свойств логарифмической функции к решению
неравенств.
Пример.
Решить  .
Решение.
Для наглядности решения построим график функции  .
t | 
| 
| 1 | 2 | 4 | 8 | y | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Из рисунка видно, что функция принимает положительные значения при  .
Далее, учитывая область определения функции  , получим:
Ответ:  .
Изменяя знак неравенства, проследим за изменением получаемого результата.
Пример.
  неравенство не имеет решений.
Логарифмические неравенства в общем виде решаются по схеме
При замене на нестрогое логарифмическое неравенство нужно в совокупности
систем первые неравенства менять на нестрогие, а остальные оставлять
строгими.
Если попытки применить стандартные приемы не приводят к цели, то можно
воспользоваться следующим утверждением:
Чтобы доказать, что на подмножестве 
своей области определения неравенство 
не имеет решений, достаточно, например, найти такую константу А, что для
всех  справедлива
система неравенств
 (*)
Наоборот, если на множестве Е выполняется система неравенств (*), то все
точки этого множества удовлетворяют неравенству 
.
Поясним смысл названия «отделяющая константа А». Прямая 
разделяет коэффициентную плоскость на две непересекающиеся полуплоскости.
В приведенной схеме полуплоскости 
и  , и система
неравенств (*) означает, что расположенные над точками множества Е
участки графиков функций 
и  находятся в этих
двух различных полуплоскостях, что позволяет сразу сделать вывод о взаимном
расположении точек графиков друг над другом, то есть ответить на вопрос задачи.
В этом смысле число А «отделяет» графики функций, то есть является
«отделяющей» константой.
Пример.
Решить неравенство
 .
Решение.
Найдем область определения неравенства из системы условий.
 .
Если  , то неравенство можно записать в виде:
.
Функция  монотонно
возрастает при всех 
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
| 
