, то

, вследствие чего ,

или , а это для

k>1 невозможно. Мы пришли к противоречию, значит наше допущение неверно,

а верно то, что требуется доказать.

Для доказательства второй части теоремы докажем достаточный признак подходящей

дроби к действительному числу

: если , где Q

>0, несократимая дробь и для действительного

имеет место неравенство (

), то является

подходящей дробью к

.

Доказательство: Покажем, что если

=()=

( удовлетворяет

условию теоремы) подходящая дробь к

, то соответствующее остаточное число

разложения данного

в цепную дробь окажется >1. Действительно,

, откуда следует ,

так как .

Теорема доказана полностью.

Достаточный признак подходящей дроби не является ее необходимым признаком; могут

существовать подходящие дроби для

, которые ему не удовлетворяют.

Крайнюю возможность уменьшения c в указанном раньше смысле выражает

теорема Гурвица-Бореля:

Теорема: Для любого действительного иррационального числа

существует при

бесконечное множество несократимых рациональных дробей

таких, что выполняется неравенство (1), то есть неравенство

, ()

если же , то

существуют такие действительные иррациональные

, для которых неравенство (1) имеет не более конечного числа рациональных

решений .

Доказательство: Докажем первую часть. Разложим

в цепную дробь. Мы докажем, что из трех любых соседних подходящих дробей

, i=k, k+1, k+2 по крайней мере одна удовлетворяет

условию .

Доказательство этого утверждения будем вести методом от противного.

Предположим, что для каких-либо трех соседних подходящих дробей выполняются

неравенства:

, , (2)

и расположены по разные стороны от и поэтому при нечетном k из (2) следует

,

а при четном: , так что и в том, и в другом случае имеем:

, или, умножая на и

перенося все члены в одну сторону

, то есть ,

, или, поскольку и

целые, . (3)

Так как и

также расположены по разные стороны от

, из (2) аналогично получаем:

. (4)

Пользуясь еще тем, что из (3) и (4) получаем:

.

Предположение, что выполнены все три неравенства (2), привело нас к

противоречию, поэтому по крайней мере для одной из трех подходящих дробей

, ,

, взятой в качестве

, должно выполняться неравенство (

).

Придавая k различные значения, получим бесконечное множество дробей,

удовлетворяющих неравенству (

).

Докажем вторую часть.

Предположим, что при

, неравенство (1)

удовлетворяется для бесконечного множества рациональных чисел

. Тогда для каждой такой дроби неравенства

, откуда, подставляя значение

, получаем , а

возводя в квадрат, получаем:

. Так как , то при

достаточно большом Q будем иметь:

и, следовательно, целое число

, =

, что при целых P и Q не может иметь места. Полученное

противоречие показывает, что неравенство (1) может иметь место только для

конечного числа рациональных чисел

. Теорема доказана полностью.

Эта теорема была опубликована Гурвицем в 1891 году. Тот факт, что из трех

соседних подходящих дробей по крайней мере одна даст приближение вида

, был доказан Борелем в 1903 году.

Последним теоремам можно дать и другое очень важное истолкование.

Рассмотрим для этого уравнение

, где – любое

действительное иррациональное число. Исключая тривиальное решение x=y=

0, это уравнение не может иметь решение в целых числах. Однако можно поставить

задачу о приближенном его решении в целых числах, то есть о нахождении таких

пар чисел x(x>0) и y, чтобы:

или .

Теорема Гурвица-Бореля показывает, что для

всегда существует бесконечное множество таких пар; если же

, то существуют такие действительные числа, для которых таких пар имеется лишь

конечное множество.

Новая точка зрения получает в содружестве с методом Дирихле весьма

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16