Мы получили

неполные частные, начиная с

будут повторяться и

=(5, (1, 1, 1, 10)).

	5	1	1	1	10	1	.
	5	6	11	17	181	198
	1	1	2	3	32	35

, так как 32·35>1000. Ответ: .

c) =(3, 2, 5, 2, 7, 2);

	3	2	5	2	7	2
	3	7	38	83	619	1321
	1	2	11	24	179	382

, так как 24·179>1000.

Ответ: .

d) =; =1

;

;

;

=((1, 2))

	1	2	1	2	1	2	1	2	1
	1	3	4	11	15	41	56	153
	1	2	3	8	11	30	41	102

, так как 30·41>1000.

Ответ: .

7. Найти действительные числа, которые обращаются в данные цепные дроби:

a) (4, (3, 2, 1)); b) ((2, 1))

Решение:

a) (4, (3, 2, 1)) - смешанная периодическая дробь.

, то есть , где

x=((3, 2, 1)) - чисто периодическая цепная дробь. Так как выражение,

начинающееся с четвертого неполного частного 3, имеет тот же вид:

, то мы можем

записать x=(3, 2, 1, x)=

=, после чего

приходим к квадратному уравнению относительно x:

D=64+12·7=148 .

Положительное решение и есть x. . Найдем .

=4+=

Ответ: .

b) ((2, 1))=

=(2, 1, )

Сейчас мы можем найти таким же путем, как и в задаче a), но можно решить

задачу легче. Составим таблицу подходящих дробей:

	2	1
	2	3	3+2
	1	1	+1

=

D=4+4·2=12

Положительное решение и есть искомое .

Ответ: .

8. Решить в целых числах уравнения:

a) 143x+169y=5; b) 2x+5y=7; c) 23x+49y=53.

Решение:

a) 143x+169y=5 - диофантово уравнение.

(143, 169)=13(НОД находим с помощью алгоритма Евклида)

уравнение решений не имеет.

Ответ: .

b) 2x+5y=7

(2, 5)=1 уравнение имеет решение в целых числах.

Разложим в цепную дробь. =(0, 2, 2). Составим все подходящие дроби. ; ;

На основании свойства подходящих дробей получим

2·2-1·5 =(-1)3 или 2·2+5(-1)=-1

2·(-14)+5·7=7, то есть – частное решение.

Все решения могут быть найдены по формулам

или

c) 23x+49y=53

(23, 49)=1 существуют целые решения.

=(0, 2, 7, 1, 2)

, , , ,

17·23-8·49=(-1)5

23·17+49·(-8)=-1

23·(-901)+49·424=53

или

9. Разложите число 150 на два положительных слагаемых, одно из которых кратно

11, а второе – 17.

Решение: Пусть 11x – первое число 11x>0 x>0;17y - второе число 17y>0 y>0.

Тогда 11x+17y=150

(11, 17)=1существуют решения.

(11, 17)=(0, 1, 1, 1, 5)

	0	1	1	1	5
	0	1	1	2	11
	1	1	2	3	17

11·3-2·17=(-1)5=–1

11·3+17·(-2)=-1

11·(-450)+17·300=150

x=-450+27·17=999 - первое число

y=300-11·27=351 - второе число.

Ответ: 99; 51.

10. Решить уравнения Пелля:

a) b)

Решение:

a)

Представим в виде цепной дроби:

=(5, (10)).

Количество чисел в периоде нечетное (одна) =(5; 10)=.

- наименьшее положительное решение.

Ответ: x=51, y=10.

b)

=(4, (2, 1, 3, 1, 2, 8))

Количество чисел в периоде четное (шесть)

	4	2	1	3	1	2
	4	9	13	48	61	170
	1	2	3	11	14	39

Ответ: x=170, y=39.

Заключение

Данная курсовая работа показывает значение цепных дробей в математике.

Их можно успешно применить к решению неопределенных уравнений вида ax+by=c.

Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти

какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно

указать алгоритм для разыскания такого частного решения.

Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределенных

уравнений, например, так называемого уравнения Пелля:

().

Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических и

трансцендентных уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных

функций.

В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в

вычислительной технике, ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для

решения ряда задач на ЭВМ.

Литература:

1. М.Б. Балк, Г.Д. Балк. Математика после уроков. М, «Просвещение», 71.

2. А.А. Бухштаб. Теория чисел. М, «Просвещение», 96.

3. Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М,

«Просвещение», 84.

4. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М, «Наука», 72.

5. А.А. Кочева. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. М,

«Просвещение», 84.

6. Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и

теории чисел. М, «Просвещение», 93.

7. Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. М, «Просвещение», 74.

8. Математическая энциклопедия, том V, М, «Советская энциклопедия», 85.

9. Ш.Х. Михелович. Теория чисел. М, «Высшая школа», 67.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16