|
Как известно из свойств подходящих дробей,  или  , где  , откуда  .
Поэтому из первого равенства (4) имеем
Так как  , то
 ,
то есть  и  , а это и доказывает ограниченность  .
Этим и завершается доказательство теоремы Лагранжа.
Отметим без доказательства следующие свойства разложений квадратических
иррациональностей:
1) при разложении квадратного корня и целого положительного числа, не
являющегося полным квадратом, период начинается со второго звена;
2) чисто периодическая цепная дробь получается тогда и только тогда,
когда квадратическая иррациональность больше 1, а сопряженная
иррациональность лежит в интервале (-1; 0) (это свойство было доказано Э.
Галуа в 1828 году. Он доказал также, что в случае чисто периодического
разложения сопряженная квадратическая иррациональность имеет те же элементы,
но расположенные в обратном порядке).
Примеры:
1. Составить уравнение, один из корней которого разлагается в периодическую
цепную дробь x и найти соответствующую иррациональность x=((2,
6, 1)).
Решение: x=(2, 6, 1, x).
Составляем схему вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей.
Итак,  , откуда получаем:   .
Положительное решение этого уравнения дает искомую периодическую дробь.
((2, 6, 1))= -
квадратическая иррациональность. Заметим, что 
>1, а  –
иррациональность, сопряженная с x – лежит в интервале (-1; 0).
2. Составить уравнение, один из корней которого разлагается в периодическую
цепную дробь x=(3, (2, 1)) и найти соответствующую иррациональность.
Решение x=(3, y), где y=(2, 1, y). Составляем
схему для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей y:
Следовательно,  ,   
. Так как y>0, то мы должны взять положительный корень этого
уравнения  . Поэтому
для x имеем  
. Таким образом, искомая дробь (3, (2, 1))=
. Для соответствующего квадратного уравнения имеем 
, откуда получаем:     
.
§4. Представление действительных чисел цепными дробями общего вида.
Рассмотренные до сих пор правильные бесконечные и конечные цепные дроби являются
частным случаем бесокнечных и конечных цепных дробей общего вида:
 (1),
когда в них принимается, что все  ,  , а остальные  .
В общем случае элементы цепной дроби 
и  , k>1
могут принимать произвольные, отличные от 0 рациональные значения, а 
может также быть равно нулю.
При помощи цепных дробей общего вида одно и то же рациональное число можно
представить различными способами. Например, 
.
В цепной дроби (1), которую записывают также иначе, например, 
( ) или 
( ) числа 
и  (k=2, 3,
.) называют звеньями, 
и  – членами k
–го звена, из них  –
частным числителем, а 
– частным знаменателем.
Чтобы получить разложение рационального числа 
в конечную цепную дробь (1), можно все 
и  , за исключением
одного, выбрать произвольно.
Можно, например, найти разложение 
; для этого следует положить 
. Можно цепную дробь преобразовать так, чтобы все 
были равны 1, то есть, чтобы (1) приняло вид 
(2).
Так, например,  .
Дроби вида (2) называют обыкновенными цепными дробями, а 
,  , ., 
– их неполными частными. Правильные цепные дроби можно поэтому определить как
обыкновенные цепные дроби с целыми положительными неполными частными, начиная с 
, причем  может быть
любым целым числом.
Правильные цепные дроби являются наиболее простыми и наиболее изученными
среди цепных дробей общего вида, однако и другие цепные дроби играют большую
роль и имеют важные применения, например, в приближенном анализе, где при их
помощи без сложных выкладок получают дробно-рациональные приближения функций.
Рассмотрим обзорно некоторые свойства цепных дробей общего вида.
Происхождение таких цепных дробей связано с обобщенным алгоритмом Евклида.
Если мы имеем систему равенств 
,  , 
, . с произвольными рациональными числами, то при b, c, d
0, из них следуют равенства 
,  , 
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
| 
