и так далее. Если ,

то в продолжении указанного процесса получим также

. Если же , например

, то получим , что

невозможно.

Теорема доказана.

Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия

между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно

однозначное соответствие.

Замечания:

1. В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент

, например, .

2. При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда

относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные

положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым

отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна.

Пример: , а так как , то .

3. Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь,

состоящую из одного элемента.

Пример: 5=(5); .

§2. Подходящие дроби. Их свойства.

Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит обратная

задача – обращения или свертывания цепной дроби

в простую дробь .

При этом основную роль играют дроби вида:

или

которые называются

подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа

.

Заметим, что ==. Считается, что подходящая дробь имеет порядок k.

Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что

переходит в , если в

первой заменить

выражением .

Имеем ,

,

, .,

при этом принимается, что , , , , , и так далее.

Закономерность, которую мы замечаем в построении формулы для

(ее числителя и

знаменателя ),

сохраняется при переходе к

и сохранится также при переходе от k к (k+1).

Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любого k,

где , имеем

(1),

причем (2)

(3)

Далее, говоря о подходящих дробях

(в свернутом виде), мы будем иметь в виду их форму

.

Соотношения (1) являются рекуррентными формулами для вычисления подходящих

дробей, а также их числителей и знаменателей. Из формул для числителя и

знаменателя сразу видно, что при увеличении k они возрастают.

Последовательное вычисление числителей

и знаменателей

подходящих дробей по формулам (2) и (3) удобно располагать по схеме:

				.				.
				.				.
				.				.

Пример: Найти подходящие дроби к цепной дроби (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3).

	2	2	1	3	1	1	4	3
	2	5	7	26	33	59	269	866
	1	2	3	11	14	25	114	367

Подходящие дроби () равны соответственно ; ; ; ; ; ; ; .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16