мы можем выбрать так, что

.

Теорема Дирихле: Пусть

и – действительные

числа; существует несократимая дробь

, для которой ,

(или: существует такая пара взаимно простых целых чисел a и b, что , ).

Доказательство: Теорему легко доказать с помощью аппарата цепных дробей.

Пусть подходящая

дробь числа ;

выберем наибольший из знаменателей

, не превышающий ,

то есть наибольшее k, чтобы

и положим =

. Рассмотрим два случая:

1) не

является последним знаменателем, то есть существует

такое, что

<. Тогда при a

= и b=

имеем:

2) – знаменатель

последней подходящей дроби разложения

, то есть =

. Тогда при a=

, b=, имеем:

.

Теорема доказана.

Сам Дирихле дал другое доказательство, использовав в нем принцип, который носит

теперь имя Дирихле: при распределении N объектов между N-1

ящиками хотя бы в одном ящике должно находиться 2 объекта. Приведем это

доказательство.

Пусть , рассмотрим

совокупность t+2 чисел, состоящую из 1 и значений дробных частей

для x=0, 1, ., t (причем

=-

, ). Очевидно,

каждое из чисел этой совокупности принадлежит точно одному из t+1

промежутков ,

, ., , из которых

первые t являются полусегментами, а последний сегментом.

————————————————————————————————

0 1

Так как чисел у нас t+2, то (согласно принципу Дирихле) обязательно

найдется такой промежуток, который содержит 2 числа из совокупности

и 1. Разность этих двух чисел не превосходит длину содержащего их промежутка, то

есть .

1. Если такими числами являются и , то . Пусть и , . Так как , то , ).

2. Если и 1 принадлежат одному промежутку, то

Пусть в таком случае , . Очевидно, и здесь , так что , ).

Теорема доказана.

Рассмотрим пример применения теоремы Дирихле.

Найти рациональное приближение к с точностью до .

Решение: Разложим в цепную дробь.

=2 -2<1.

.

=(2, 4, 4, 4, .)=(2,(4)).

Находим подходящие дроби:

	2	4	4	4	4	4	.
	2	9	38	161	682	.	.
	1	4	17	72	305	1929	.

Наибольший знаменатель, меньший чем 100, при =305. Искомая дробь равна ; .

2.4. Подходящие дроби как наилучшие приближения.

Приближение подходящей дробью дает большую точность при значительно меньшем

знаменателе, чем приближение десятичной дробью. Покажем это.

Округляя десятичное выражение действительного

до n–го знака после запятой, мы тем самым представляем

приближенно дробью

со знаменателем ,

причем погрешность

, если же

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16