а дробную часть –3,

которая меньше 1, представим в виде

, где .

Повторяя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, мы получаем:

;

;

.

Если остановиться на этом шаге, то можно записать:

С другой стороны, из формулы для

видно, что =3+

. Поэтому ,

вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут повторяться.

Бесконечная непрерывная дробь, в которой определенная последовательность

неполных частных, начиная с некоторого места, периодически повторяется,

называется периодической непрерывной дробью.

Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена, то

цепная дробь называется чисто периодической, в противном случае – смешанной

периодической.

Чисто периодическая дробь

записывается в виде

, а смешанная периодическая

в виде .

Итак, разлагается в

смешанную периодическую дробь (3, 3, 6, 3, 6, .) или (3, (3, 6)).

В общем случае разложения действительного иррационального числа

поступаем так же, как в примере. Останавливаясь при этом в процессе выделения

целой части после k–го шага, будем иметь:

так что

.

Числа называются

остаточными числами порядка k разложения

. В формуле (4) имеем кусок разложения до остаточного числа

.

Для бесконечной цепной дроби (2) можно построить бесконечную

последовательность конечных непрерывных дробей.

Эти дроби называют подходящими дробями. Закон образования

соответствующих им простых дробей будет такой же, как и для подходящих дробей в

случае конечных непрерывных дробей, так как этот закон зависит только от

неполных частных и

совершенно не зависит от того, является ли

последним элементом или за ним следует еще элемент

. Поэтому для них сохранятся также остальные свойства, которые выводятся из

закона образования числителей и знаменателей подходящих дробей.

В частности, мы имеем:

1) , причем ;

2) , откуда следует несократимость подходящих дробей ;

3) .

Сравним теперь подходящую дробь

и кусок разложения

до остаточного числа

. Имеем

,

откуда видно, что вычисление

по формально

производится таким же образом, как вычисление

по с тем лишь

отличием, что в первом случае

заменяется на , а во

втором заменяется

на . Поэтому на

основании формулы

можно сделать вывод о справедливости следующего важного соотношения

. (5)

По этой причине мы пишем также

, хотя не является

здесь целым положительным числом.

При помощи формулы (5) можно вывести следующую теорему и расположении подходящих

дробей разложения .

Теорема: Действительное число

всегда находится между двумя соседними подходящими дробями своего разложения,

причем оно ближе к последующей, чем к предыдущей подходящей дроби.

Доказательство: Из формулы (5) следует

Но , , так что

1) () и () имеют одинаковый знак, а это значит, что находится между и ;

2) , то есть ближе к , чем к .

Теорема доказана.

Так как , то

, и так далее; отсюда приходим к следующему заключению о взаимном расположении

подходящих дробей:

1) больше

всех подходящих дробей нечетного порядка и меньше всех подходящих дробей

четного порядка;

2) подходящие дроби нечетного порядка образуют возрастающую

последовательность, а четного порядка – убывающую (в случае иррационального

указанные последовательности являются бесконечными), то есть

(в случае рационального ).

———————————————————

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16