значительное применение в теории диофантовых приближений.

§ 3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби.

Рациональные числа представляют собой корни уравнений первой степени вида

с целыми коэффициентами.

Во множестве иррациональных чисел наиболее простыми являются те

иррациональности, которые являются корнями квадратных уравнений с целыми

коэффициентами; такие числа будем называть квадратическими

иррациональностями.

Число называется

квадратической иррациональностью, если

– иррациональный корень некоторого уравнения

(1) с целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю.

При таком ,

очевидно, будет a

0, c0.

Коэффициенты a, b, c уравнения (1), очевидно, можно

взять взаимно простыми; в этом случае дискриминант этого уравнения

будем называть также дискриминантом

. Корни уравнения (1) равны

и , так что любую

квадратическую иррациональность

можно представить в виде

, где P, Q – целые, а D (D>1) – целое

неквадратное число.

Второй корень уравнения (1) будем называть иррациональностью, сопряженной с .

В определении квадратической иррациональности особенно важно обратить внимание

на то, что речь идет о квадратных уравнениях с целыми коэффициентами. Любое

является корнем квадратного уравнения и даже уравнения первой степени, например

уравнений , x

-=0.

Примеры:

1) –

квадратическая иррациональность, так как

является иррациональным корнем уравнения

.

2) –

квадратическая иррациональность, так как

представляет собой иррациональный корень уравнения

. Здесь P=–1, Q=–3, D=5.

3) не является квадратической иррациональностью.

Действительно, корень любого квадратного уравнения с целыми коэффициентами имеет

вид , где P

, Q, D

, причем D>1. Если бы мы имели

=, то, возводя это

равенство в куб, мы получили бы, что

– рациональное число, а следовательно, рациональным являлся бы и

, а это не так.

Теорема: Всякая периодическая непрерывная дробь изображает квадратическую

иррациональность.

Доказательство: Пусть

– смешанная периодическая цепная дробь, то есть

, где – чисто

периодическая цепная дробь.

Обозначим подходящие дроби к и соответственно через и .

Так как , то,

согласно формуле (5) из 1.1 этой главы,

. Выполнив необходимые преобразования, получаем:

.

Из этой формулы видно, что

удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Кроме того,

- число иррациональное, так как оно представляет бесконечную непрерывную дробь.

Таким образом, -

квадратическая иррациональность. Но по той же формуле

, поэтому и

является, очевидно, квадратической иррациональностью, что и требовалось

доказать.

Докажем обратную теорему, которая носит имя Лагранжа.

Теорема Лагранжа: Всякая действительная квадратическая иррациональность

изображается периодической непрерывной дробью.

Доказательство: Пусть

– действительный иррациональный корень квадратного уравнения

(1) с целыми коэффициентами a, b, c.

При разложении в непрерывную дробь получаем (2), где – остаток порядка k+1.

Подставляя выражение из (2) в (1), получаем

(3), где

(4)

Отсюда, во-первых, видно, что

(5), во-вторых, можно непосредственным вычислением установить, что

(6).

Таким образом, дискриминант уравнения (3) такой же, как и дискриминант уравнения

(1), откуда следует, что он от k не зависит.

Идея доказательства в дальнейшем заключается в том, чтобы показать, что при

данном

коэффициенты ,

, ограничены по

модулю.

Если этот факт на самом деле имел бы место, то это означало бы, что

коэффициенты, будучи целыми числами, могут принимать только конечное число

различных значений. Вместе с тем и число возможных уравнений (3) было бы

конечным, хотя k пробегает бесконечное множество значений. Но в таком

случае и остатки

(которые определяются из (3)), число которых бесконечно, могли бы принять только

конечное число различных значений. Поэтому должны были бы существовать остатки

с одинаковыми значениями, а это уже означает, что непрерывная дробь –

периодическая.

Итак, докажем, что ,

и ограничены по

абсолютной величине. Достаточно сделать это для

, так как в силу соотношения (5), из ограниченности

уже как следствие вытекает ограниченность

, а в силу (6) – ограниченность

.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16