подходящая дробь к ,

то , так что при

сколько-нибудь значительном q величина

во много раз меньше, чем

.

Пример: Десятичное выражение числа

в виде рациональной дроби со знаменателем

имеет вид . Если же

разложить в цепную дробь, получается

=(3, 7, 15, .);

Наибольшей подходящей дробью для

со знаменателем

является число ,

известное уже Архимеду, причем

. Итак, мы получили, что приближение подходящей дробью дает большую точность,

чем приближение десятичной дробью.

Это объясняется тем, что знаменатели подходящих дробей определяются

арифметической природой изображаемого числа, а знаменатели же приближающих

десятичных дробей не могут быть иными, как только

.

Теорема: Если рациональное число

ближе к действительному числу

, чем его подходящая дробь

, где k>1, то

, то есть если

, то .

Доказательство: Рассмотрим случай, когда

(иначе теряет смысл). Тогда

всегда лежит между любыми двумя последующими подходящими дробями так, что для

k>1 всегда

лежит между и

, причем ближе к ,

чем к . Поэтому,

если ближе к

, чем , то оно

находится между и

. В случае четного

можно записать <

< (в случае

нечетного k доказательство существенно не меняется), откуда

, или

, , откуда,

домножая неравенство на

, получаем . Так

как – число целое

и положительное, то из предыдущего равенства следует

, что и требовалось доказать.

Попутно мы установили, что любая рациональная дробь

, принадлежащая интервалу

, k>1, имеет знаменатель

. Для k=1 теорема неверна:

может оказаться ближе к , чем его подходящая дробь , хотя .

Доказанная теорема приводит нас к следующему определению:

Рациональную дробь

называют наилучшим приближением действительного

, если любая более близкая к

рациональная дробь

имеет больший знаменатель, чем

, то есть если из

следует d>b.

Таким образом, подходящие дроби являются наилучшими приближениями, например,

Архимедово число

для является

наилучшим приближением.

Ранее мы доказали, что для оценки погрешности

, возникающей при замене любого действительного

его подходящей дробью

, можно пользоваться неравенством

. Выразим этот результат по отношению к действительному иррациональному

, имеющим бесконечное множество подходящих дробей, следующим образом: для любого

действительного иррационального

существует при c=1 бесконечное множество несократимых дробей

таких, что (1).

Такими дробями являются, например, все подходящие дроби для .

Возникает вопрос: При каких меньших значениях c (чем c=1)

существует для любого действительного иррационального

бесконечное множество (несократимых) рациональных приближений

, погрешность которых

.

Теорема: Для любого действительного иррационального числа

существует при

бесконечное множество несократимых рациональных дробей

таких, что (

). Такими рациональными дробями могут быть только подходящие дроби к

.

Доказательство: Докажем первую часть теоремы. Рассмотрим две последующие

подходящие дроби к

и . Допустим, что ни

одна из этих дробей не удовлетворяет неравенству (

). Тогда имеем: ,

. Отсюда .

Но так как лежит

между и

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16