Из теорем 1-3 получаем следующие оценки погрешности:

, ,

из которых первая является наиболее точной, а последняя – наиболее грубой.

2.2. Приближение действительного числа подходящими дробями.

Решение поставленной задачи начнем с рассмотрения нескольких примеров.

Пример 1: Рассмотрим задачу, аналогичную той, с которой встретился

голландский математик Христиан Гюйгенс (1629-1695) при построении модели

солнечной системы с помощью набора зубчатых колес и которая привела его к

открытию ряда важных свойств непрерывных дробей.

Пусть требуется, чтобы отношение угловых скоростей двух зацепляющихся зубчатых

колес II и I было равно

.

Так как угловые скорости колес обратно пропорциональны числам зубцов, то

отношение чисел зубцов колес I и II должно быть равно

. Если –

несократимая дробь

с большим числителем и знаменателем, например,

, то для точного решения задачи возникает техническая трудность изготовления

колес с большим количеством зубцов.

Задачу можно технически упростить при помощи колес с меньшим количеством

зубцов. При этом важно, чтобы отношение этих чисел было, по возможности,

ближе к заданному отношению. Хорошего удовлетворения поставленных требований

можно добиться, если воспользоваться непрерывными дробями.

Пусть, например, поставлено требование заменить N и n меньшими

числами и

так, чтобы и чтобы

отношение было, по

возможности, ближе к

.

Применяя аппарат цепных дробей, можем дать следующее решение этой задачи:

разлагаем в

непрерывную дробь и берем ее подходящую дробь с наибольшим знаменателем, не

превышающим 100.

Получаем, =(1, 2, 3, 7, 8, 2)

Составляя схему, находим:

	1	2	3	7	8	2
	1	3	10	73	594	1261
	1	2	7	51	415	881

Поставленному условию удовлетворяет подходящая дробь

. При этом допущенная погрешность

, то есть весьма незначительна.

Ответ: .

Для иррационального по существу возможно лишь приближенное решение задачи.

Пример 2: Как мы уже определили ранее . Вычислим с точностью до 0,001.

Для решения придется найти такую подходящую дробь разложения , чтобы .

Сделаем это, используя схему:

	3	3	6	3
	3	10	63	199
	1	3	19	60

Очевидно, нам достаточно взять

, так как 19·60>1000. Это значение будет равно

с точностью до 0,001, причем с недостатком, так как

– подходящая дробь нечетного порядка. Мы можем представить

в виде десятичной дроби, причем имеем право взять 3 знака после запятой, так как

является приближенным значением для

с точностью до 0,001. Получаем

(мы округляем по избытку, так как

является приближенным значением с недостатком, однако, не можем теперь сказать,

будет ли 3,316 приближенным значением

с недостатком или избытком).

Решенные задачи в более общем виде формулируются так:

1) Найти рациональное приближение к действительному

со знаменателем в

виде наиболее близкой к

подходящей дроби. Для этого надо взять подходящую дробь для

с наибольшим знаменателем, не превышающим n.

2) Найти рациональное приближение к действительному числу

с возможно меньшим знаменателем так, чтобы погрешность не превосходила

(то есть с точностью до

). Для этого, пользуясь аппаратом цепных дробей, находим подходящую дробь

с наименьшим знаменателем

так, чтобы .

2.3. Теорема Дирихле.

Выше мы нашли оценку погрешности, возникающей при замене любого действительного

числа

рациональными дробями определенного типа, а именно: подходящими дробями.

А сейчас рассмотрим некоторые сравнительно простые результаты, показывающие

как обстоит дело с приближением действительных чисел рациональными числами,

не предрешая заранее, что эти рациональные числа будут подходящими дробями.

Пусть –

произвольное действительное число. Из теории десятичных дробей следует

существование рационального числа

такого, что .

поставим вопрос о возможности таких приближений

рациональными числами

, при которых точность приближения будет оценена не величиной

, а величиной, в

раз меньшей, то есть вопрос о нахождении рациональных чисел

таких, что , где

– любое заранее положительное число.

Например, можно поставить задачу нахождения такого рационального приближения к

, чтобы точность приближения была в 1000 или в 1000000 раз лучшей, чем величина,

обратная знаменателю. Это соответствует выбору

=1000 или =1000000.

оказывается, что как бы велико ни было

, можно найти рациональную дробь

, приближающую с

точностью до ,

причем и это является самым интересным, дробь

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16