Практически нахождение неполных частных и подходящих дробей удобно объединить в

одну краткую схему, которую приведем для

=(2, 3, 1, 4, 2)

.

А сейчас рассмотрим ряд свойств подходящих дробей.

1. Теорема: При k=1, 2, ., n выполняется равенство

Доказательство: Проведем индукцию по k:

При k=1 равенство справедливо, так как .

Пусть это равенство верно при некотором k=n ().

Докажем справедливость равенства при k=n+1.

, то есть равенство верно при k=n+1.

Согласно принципу полной математической индукции равенство верно для всех k().

2. Теорема: Числитель и знаменатель любой подходящей дроби –

взаимно простые числа, то есть всякая k–подходящая дробь несократима.

Доказательство: Докажем это свойство методом от противного. По предыдущему

свойству имеем .

Пусть , то есть

, тогда из равенства

следует, что

делится на без

остатка, что невозможно. Значит, наше допущение неверно, а верно то, что

требовалось доказать, то есть

.

3. Теорема: При

1) ()

2) ()

Доказательство: Первое соотношение можно получить из равенства

, доказанного выше, путем деления обеих частей на

. Получаем

, что и требовалось доказать.

Докажем второе соотношение.

.

Теорема доказана полностью.

4. Теорема: Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби,

начиная с первого, образуют монотонно возрастающую последовательность, то есть

1=.

Доказательство: , , так что и положительны.

Соотношение (

) (*) показывает, что и все следующие знаменатели

, , .,

положительны. При ,

поскольку тогда ,

из (*) получаем

, что и требовалось доказать.

5. Теорема: Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а

четные подходящие дроби – убывающую последовательность:

;

.

Две подходящие дроби

и , у которых номер

отличается на единицу, будем называть соседними.

6. Теорема: Из двух соседних подходящих дробей четная дробь

всегда больше нечетной.

Доказательство: По уже доказанному выше свойству имеем:

.

Если k – четное, то

Если k – нечетное, то

Значит, из двух соседних дробей

и четная всегда

больше нечетной, что и требовалось доказать.

7. Теорема: Расстояние между двумя соседними подходящими дробями .

Доказательство: Так как , то , что и требовалось доказать.

Глава II. Бесконечные цепные дроби.

§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными

бесконечными цепными дробями.

1.1 Разложение действительного иррационального числа в

правильную бесконечную цепную дробь.

В предыдущей главе мы рассмотрели, как в процессе последовательного выделения

целой части и перевертывания дробной рациональная дробь

разлагается в конечную непрерывную дробь.

=()

(1)

и, наоборот, свертывание такой непрерывной дроби приводит к рациональной дроби.

Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к

любому действительному числу.

Для иррационального числа

указанный процесс должен быть бесконечным, так как конечная цепная дробь равна

рациональному числу.

Выражение (где , ) (2)

возникающее в таком процессе или заданное формально, мы будем называть

правильной бесконечной цепной, или непрерывной дробью, или

дробью бесконечной длины и обозначать кратко через (

), а числа – ее

элементами или неполными частными.

Отметим, что разложение

возможно только в единственном виде, так как процесс выделения целой части –

процесс однозначный.

Рассмотрим пример разложения иррационального числа .

Пусть . Выделим из

его целую часть. =3,

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16