и для любого

, ибо -измеримо,

N=1,2,... n

Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая

последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.

Заданы векторы f1,...,fq, требуется

значенния f1,...,fq. Рассмотрим задачу

приближения цветного изображения f(×), в которой

задано не разбиение

поля зрения X, а векторы

в , и требуется

построить измеримое разбиение

поля зрения, такое, что цветное изображение

- наилучшая в

аппроксимация f(×). Так как

, (14*)

то в Ai следует отнести лишь те точки

, для которых ,

=1,2,...,q, или, что то же самое,

=1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены

к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу.

Учитывая это, условимся считать, что запись

, (14)

означает, что множества (14) не пересекаются и .

Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа,

рассмотрим разбиение

, в котором

(15)

и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор

F, действующий из

в по формуле

, , i=1,...,

q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы

включения и

, i=1,...,q, можно было считать эквивалентными.

[8]

Теорема 2. Пусть - заданные векторы Rn. Решение задачи

наилучшего в

приближения изображения f(×) изображениями

имеет вид ,

где -

индикаторная функция множества

. Множество

определено равенством (15). Нелинейный оператор

, как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2

=F, т.е. является пректором.

Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом

варианте, то есть заданы числа

, i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию

, то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств

где , и имеет мало общего с разбиением (14).

Замечание 3. Выберем векторы fi, i=1,..,q единичной длины: , i=1,...,q. Тогда

. (16)

Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными

гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что

соответствующее приближение

изображения f(×) инвариантно относительно

произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например

), в частности, относительно образования теней на f(×)

.

Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов

оператор F, приведенный в теореме 2, определяет форму

изображения, принимающего значения

соответственно на измеримых множествах

(любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17