) точкой F: ,

если , все они

изоморфны между собой. Если некоторые множества из

- пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую

форму.

Иначе говоря, в данном случае формой изображения

является множество всех изображений, принимающих заданные значения

на множествах положительной меры

любого разбиения X, и их пределов в

.

Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего

приближения изображения f(×) изображениями

, в котором требуется определить как векторы

так, чтобы

.

Следствие 1.

Пусть Di ,i=1,...,N, - подмножества Rn

(15), П - ортогональный проектор (13),

, где .

Тогда необходимые и достаточные условия

суть следующие:

, где ,

.

Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых

в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть

- исходные векторы в задаче (14*),

- соответствующее оптимальное разбиение (14), F(1)- оператор

наилучшего приближения и

- невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения

. Согласно выражению (13)

, и соответствующий оператор наилучшего приближения П(1) (13)

обеспечит не менее точное приближение f(×), чем

F(1):

. Выберем теперь в теореме 2

, определим соответствующее оптимальное разбиение

и построим оператор наилучшего приближения F(2). Тогда

. На следующем шаге по разбиению

строим и

оператор П(3) и т.д.

В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего

-измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции

. Выберем произвольно попарно различные векторы

из f(X) и построим по формуле (15) разбиение Rn

. Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E(N(q)), множества

, j=1,...,N(q), которого образованы всеми попарно различными

пересечениями

множеств из .

Последовательность соответствующих разбиений X

, i=1,...,N(q), q=1,2...

-измеримы и

является продолжением

5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах

разбиения поля

зрения X.

Задано разбиение

каждом Ai,i=1,...,N.

Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс

изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств

поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями

такого класса.

Запишем изображение (5) в виде

(17)

где .

Пусть A1,...,AN - заданное разбиение X,

- индикаторная функция Ai, i=1,...,N. Рассмотрим задачу

наилучшего в

приближения изображения

изображениями (17), не требуя, чтобы

(18)

Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17