изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из

, в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из

заданных подмножеств A1,...,AN поля зрения X

, (см. Лемму 3).

Так как

то минимум S (19) по достигается при

, (20)

и равен

(21)

Задача (18) тем самым сведена к задаче

. (22)

В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный

оператор

. (23)

Максимум (неотрицательной) квадратичной формы

на сфере в R

n, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном

векторе yi оператора Фi,

отвечающем максимальному собственному значению

>0,

,

и равен , т.е.

. Следовательно, максимум в (22) равен

и достигается, например, при

Теорема 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое

)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения

изображениями g(×)

(17) является изображение

(24)

Операторы ,

i=1,...,N, и -

нелинейные (зависящие от f(×)

) проекторы: Пi проецирует в Rn векторы

на линейное подпространство

, натянутое на собственный вектор

оператора Фi (23), отвечающий наибольшему

собственному значению ri,

; (25)

П проецирует в

изображение

на минимальное линейное подпространство

, содержащее все изображения

Невязка наилучшего приближения

(19*).

Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi следует из

(17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Ф

i (23). Поскольку Фi

самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные

значения (23) разрешима, все собственные значения Фi

неотрицательны и среди них ri - наибольшее.

Для доказательства свойств операторов Пi, i=1,...,N,

и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f

(×):

(26*)

Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов П

i, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата

однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.

Пусть fi - cсобственный вектор Ф

i , отвечающий максимальному собственному значению ri

. Чтобы определить

следует решить задачу на собственные значения для оператора

:

.

Поскольку rank=1,

имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно

проверить, равно ri, и ему соответствует единственный

собственный вектор fi. Поэтому

.

Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для

n

Лемма 4. Для любого изображения

решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и

является элементом

.

Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до

положительного множителя) собственный вектор fi

оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению ri

, можно выбрать так, чтобы

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17