, (24*)

если A1,...,AN - исходное разбиение X в теореме

3. Наоборот, если A1,...,AN - заданное в теореме

3 разбиение X и f1,...,fN -

собственные векторы операторов Ф1,...,ФN (23)

соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f

1,...,fN

и будет выполнено равенство (24), если в (34*) определить ji

как цвет fi в (24), i=1,...,N.

Проверка этого замечания не представляет затруднений.

В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого A

i, i=1,...,N.

Разумеется, условие постоянства цвета на множествах Ai, i=1,...,N

, на практике может выполняться лишь с определенной точностью. Последнюю можно

повысить как путем перехода к более мелкому разбиению

, так и допустив некоторые изменения цвета в пределах каждого Ai,

i=1,...,N, например, выбрав вместо (17) класс изображений

(17*)

в котором в (3).

Поскольку в задаче наилучшего приближения f(×)

изображениями этого класса предстоит найти

, векторы при любом

i=1,...,N, можно считать ортогональными, определив

, (*)

из условия минимума невязки по

. После этого для каждого i=1,...,N векторы

должны быть определены из условия

(**)

при дополнительном условии ортогональности

. Решение этой задачи дается в следующей лемме

Лемма 5. Пусть

ортогональные собственные векторы оператора Фi (23),

упорядоченные по убыванию собственных значений:

.

Тогда решение задачи (**) дается равенствами .

Доказательство. Заметим, что, поскольку Фi -

самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения

неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они

образовали ортогональный базис в Rn. Пусть P

i - ортогонально проецирует в Rn на линейную

оболочку

собственных векторов

и

[Pi Фi Pi] - сужение оператора P

i Фi Pi на

. Тогда левая часть (*) равна следу оператора [Pi Фi P

i]

, где

- j-ое собственное значение оператора

(см., например, [10]). Пусть

. Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10],

, откуда следует утверждаемое в лемме. ■

Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом

случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 3.

Теорема 3*. Наилучшее приближение любого изображения f

(×) изображениями (17*) имеет вид

,

Где : ортогональный проектор на линейную оболочку , собственных векторов задачи

.

Невязка наилучшего приближения равна

. n

Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f

(×) изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы

, и надлежит определить измеримое разбиение

и функции , как

решение задачи

(30)

При любом разбиении

минимум в (30) по

достигается при ,

определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что

(31)

где точки , в

которых выполняется равенство

могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в

, либо в . Это

соглашение отмечено звездочкой в (31).

Таким образом доказана

Теорема 6. Пусть заданные векторы Rn. Решением задачи (30) является изображение

,

где ортогональный проектор

определен равенством (25), а

- индикаторная функция множества (31), i=1,...,N. Невязка

наилучшего приближения равна

. n

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17