|
можно представить в виде предела (в 
) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений
 (*)
где  - индикатор множества  , принадлежащего измеримому разбиению 
В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую
последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям
-  - C - измеримо,
;
- N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого 
, найдется i=i(j),
, такое, что 
;
- минимальная s-алгебра, содержащая все  , совпадает с C.
Лемма (*). Пусть 
- исчерпывающая последователь-ность разбиений X и 
- то множество из  ,
которое содержит  .
Тогда для любой C-измеримой функции 
и m-почти для всех   [ ]. n
Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П
произвольного изображения 
. Пусть  -
минимальная s-алгебра, относительно которой измеримо 
, т.е. пусть  , где 
- прообраз борелевского множества 
, B - s-алгебра борелевских множеств 
. Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C
на  и выберем эту,
зависящую от  ,
исчерпывающую последовательность (
- измеримых) разбиений в лемме (*).
Теорема (*). Пусть 
,  -
исчерпывающая последовательность разбиений X, причем 
- минимальная s-алгебра, содержащая все 
и П(N) - ортогональный проектор 
, определенный равенством 
, 
Тогда
1) для любого  -измеримого изображения  и почти для всех  ,  ,
2) для любого изображения  при   (в  ), где П - ортогональный проектор на  .
Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и
определения  . Для
доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1)
- продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то
последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно
неубывает: 
и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П.
Так как  - множество
всех  -измеримых
изображений и их пределов (в 
), а в силу леммы (*) для любого 
-измеримого изображения 
 , то для любого
изображения  
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
| 
