Замечание 5. Так как при

,

то условия (31), определяющие разбиение , можно записать в виде

, (32)

показывающем, что множество

в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения

, не изменяющего его цвет.

Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия

наилучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), при

котором должны быть найдены

и ci0 , i=1,...,N, такие, что

.

Теорема 7. Для заданного изображения f(×)

определим множества

равенствами (32), оператор П - равенством (24),

- равенствами (25). Тогда

,

определено равенством (32), в котором

- собственный вектор оператора Фi (23),

отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23)

, наконец,

будет дано равенством (20), в котором

, где -

собственный вектор оператора

, отвечающий наибольшему собственному значению

; наконец,

. n

Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании

: Для изображения f(×) зададим

и по теореме 5 найдем

и , затем по

теореме 3, используя

найдем и

. После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по

найдем и

и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений

очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность

, k=1,2,.... монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К

сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности

.

Формы (10) и (9) удобно задавать операторами Пf и П*f соответственно.

Теорема 7. Форма

в широком смысле изображения

определяется ортогональным проектором П*f :

,

при этом и .

Доказательство. Так как для

, то получаем первое утверждение. Для доказательства второго утверждения

рассмотрим выпуклую задачу на минимум

, решение которой определяется условиями (см., например, [11])

. Отсюда следует, что и тем самым доказано и второе утверждение n

Замечание. Так как

, где fi(x) - выходной сигнал i-го детектора в точке

, причем fi(x)³0 ,i=1,...,n, и, следовательно

цвет реальных

изображений непременно имеет неотрицательные

, то для реальных изображений

, условия и

, эквивалентны. Если же для некоторого

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17