|
Aj.
Пусть  - разбиение  , в котором
(32)
а F: Rn-> Rn оператор, определенный условием
 (33)
Тогда решение задачи (28) можно представить в виде
 , (34)
где  - индикаторная
функция множества Ai (31), i=1,...,q и F
-оператор, действующий в 
по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).
Нетрудно убедиться, что задача на минимум (29) с условием физичности 
(35)
имеет решение
(36)
Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид
 , (37)
где  - индикаторная функция множества
, (38)
В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F
+: Rn-> Rn, действующий
согласно формуле
 (39)
где
 , так что  ,i=1,...q. (40)
Подытожим сказанное.
Теорема 4. Решение задачи (28) наилучшего в 
приближения изображения 
изображениями на искомых множествах A1,...,Aq разбиения X
заданные цветами j1,..., jq
соответственно, дается равенством (34), искомое разбиение A1,...,A
q определено в (31). Требование физичности наилучшего приближения
приводит к решению (37) и определяет искомое разбиение формулами
(38). Решение (34) инвариантно относительно любого, а (37) -
относительно любого, сохраняющего физичность, преобразования, неизменяющего его
цвет.
Формой в широком смысле изображения, имеющего заданный набор цветов j
1,..., jq на некоторых множествах положительной
меры A1,...,Aq разбиение поля зрения можно назвать
оператор  (34),
формой такого изображения является оператор F+ (37).
Всякое такое изображение g(×), удовлетворяющее условиям
физичности (неотрицательности яркостей), удовлетворяет уравнению F
+g(×)=g(×), те из них, у которых m
(Ai)>0, i=1,...,q, изоморфны, остальные имеют более
простую форму. n
В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения, заданного с
точностью до произвольного, удовлетворяющего условиям физичности,
преобразования яркости. Речь идет о форме изображения 
, заданного распределением цвета 
, при произвольном (физичном) распределении яркости, например, 
. Для определения формы 
рассмотрим задачу наилучшего в 
приближения изображения 
такими изображениями
 , (41)
Теорема 5. Решение  задачи (41) дается равенством
 , (42)
в котором  , где  . Невязка приближения
 , (43)
(  !) n
Определение. Формой изображения, заданного распределением цвета 
, назовем выпуклый, замкнутый конус изображений
или - проектор  на  .
Всякое изображение g(×), распределение цвета которого есть
j(×) и только такое изображение содержится в 
и является неподвижной точкой оператора
 : 
g(×) = g(×).
(#)
Поскольку на самом деле детали сцены, передаваемые распределением цвета j
(×), не представлены на изображении f(×) = f
(×)j(×) в той области поля зрения, в которой яркость f
(x)=0, xÎX, будем считать, что 
- форма любого изображения f(x) = f(x)j
(x), f(x)>0, xÎX(modm), все такие
изображения изоморфны, а форма всякого изображения g(×),
удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f
(×).
Замечание 5. Пусть j1,..., jN
- исходный набор цветов, 
, A1,...,AN - соответствующее оптимальное
разбиение X, найденное в теореие 4 и
 , (34*)
- наилучшее приближение f(×). Тогда в равенстве (24)
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
| 
