[2]. Дело в том, что оператор

определяет форму

изображения (4), а именно

- множество

собственных функций оператора

. Поскольку

f(×) - наилучшее приближение изображения

изображениями из ,

для любого изображения

из и только для

таких -

. Поэтому проектор

можно отождествить с формой изображения (4).

Аналогично для черно-белого изображения a(×)

,[7] [2]. И проектор

можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].

Примечания.

Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения

элементами и

, которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если

оператор наилучшего в

приближения злементами выпуклого замкнутого (в

и в ) конуса

, то . Иначе

говоря, для определения наилучшего в

приближения

элементами можно

вначале найти ортогональную проекцию

изображения на

, а затем

спроецировать в на

. При этом конечномерный проектор

для каждого конкретного конуса

может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач

морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь

проектора П .

Форма в широком смысле

(4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением

, последнее, в свою очередь определяется изображением

,

если векторы

попарно различны. Если при этом

, то форма в широком смысле

может быть определена и как оператор П ортогонального

проецирования на ,

определенный равенством (13).

Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в

широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное

подпространство

(10*) для произвольного изображения

. Пусть -

множество значений

и - измеримое

разбиение X , порожденное

, в котором -

подмножество X , в пределах которого изображение

имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором

, если .

Однако для найденного разбиения условие

, вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить

ортогональный проектор П на

. Покажем, что П можно получить как предел последовательности

конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17