, поскольку в таком случае будут выполнены импликации:

,

составляющие содержание леммы. Действительно, если

то согласно (23) ,

поскольку включение

означает, что

; отсюда и из (25) получим, что

,i=1,...,N, а поэтому и в (24)

.

Убедимся в неотрицательности

. В ортонормированном базисе e1,...,en, в котором

, выходной сигнал i-го детектора в точке

(см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид

, p=1,...,n,

где , .

Так как матрица

симметрическая и неотрицательно определенная (

) она имеет n неотрицательных собственных значений

, которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов

, а поскольку матричные элементы

, то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение

- алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно

выбирать неотрицательным:

. Следовательно,

вектор fi определен с точностью до

положительного множителя

, . n

Замечание 4.

Если , т.е. если

аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения

имеет постоянный цвет, то в теореме 3

, .

Наоборот, если , то

, т.е. определяется выражением (17), в котором .

Итак, пусть в изображении g(×) (17) все векторы f1

,....,fN попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств

A1,...,AN попарно различны. Тогда форма в широком

смысле

изображения (17) есть множество решений уравнения

,, (27)

где , fi

- собственный вектор оператора Фi:

, отвечающий максимальному собственному значению ri,

i=1,...,N . В данном случае

, если и только если выполнено равенство (27).

Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения

, естественно отождествить с формой в широком смысле изображения

(17).

Заданы векторы цвета j1,..., jq,

q и оптимальные распределения яркостей

[10].

Речь идет о следующей задаче наилучшего в приближения изображения

. (28)

Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы . Так как для любого измеримого

, (29)

и достигается на

, (30)

то, как нетрудно убедиться,

, (31)

где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки x

ÎX, в которых выполняется равенство

могут быть произвольно отнесены к одному из множеств Ai или