(по условию) по свойству 12 числовых неравенств получим истинное числовое

неравенство .

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и

то же положительное число, сохраняя знак неравенства, то получится неравенство,

равносильное данному.

Теорема 20. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и

ту же функцию ,

которая при всех значениях

из области определения исходного неравенства принимает только отрицательные

значения, и при этом изменить на противоположный знак неравенства, то получится

неравенство. равносильное исходному.

Таким образом, если , то неравенства

(1)

и

(2)

(или ) равносильны.

Доказательство: Пусть

произвольное решение неравенства (1). Тогда

- истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число

(по условию это число существует, ибо функция

имеет решение при всех

из области определения неравенства (1)). На основании свойства 4 числовых

неравенств заключаем, что числовое неравенство

тоже истинное.

Обратно, пусть -

произвольное решение неравенства (2), значит

-истинное числовое неравенство. Умножив обе части этого неравенства на число

по свойству 4 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство

.

Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2)

и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1).

Теорема доказана.

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и

тоже отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный, то

получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 21. Пусть дано неравенство

, причем и

при всех из области

определения неравенства. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же

натуральную степень

и при этом знак неравенства оставить без изменения, то получится неравенство

,

равносильное данному.

Доказательство: пусть

- произвольное решение неравенства

. Причем и

(по условию). Тогда

- истинное числовое неравенство. Но по свойству 17 числовых неравенств получаем,

что числовое неравенство

тоже истинно. Что и требовалось доказать.

Замечание. При выполнении тождественных преобразований возможно изменение

области определения выражения. Например, при приведении подобных членов, при

сокращении дроби может произойти расширение области определения. При решении

неравенства в результате тождественных преобразований может получиться

неравносильное неравенство. Поэтому после выполнения тождественных

преобразований, которые привели к расширению области определения неравенства,

из найденных решений нужно отобрать те, которые принадлежат области определения

исходного неравенства.

3. Корень - й степени. Иррациональные неравенства.

Определение. Корнем

- й степени из действительного числа

называется действительное число

такое, что .

В частности, если ,

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31