Пример 1. Решить неравенство

Решение. Возводим обе части неравенства в куб:

Ответ: .

Рассмотрим отдельно решение неравенств вида:

После возведения его в куб получим неравенство

.

Многократное возведение в куб неравенства в общем случае не приводит к

освобождению от радикалов. Для решения таких неравенств целесообразно

использовать метод интервалов. Суть его заключается в следующем.

Пусть требуется решить неравенство вида:

(1)

или

(2)

Сначала установим, при каких значениях переменной левая часть неравенства

равна правой его части, то есть решим иррациональное уравнение, которое

назовем соответствующим

(3)

Далее находим область определения данного неравенства (она совпадает с областью

определения соответствующего уравнения). Затем наносим корни уравнения (3) на

числовую ось, на которой отмечаем также область определения неравенства. Пусть,

например, область определения неравенства (1) или (2) состоит из двух числовых

промежутков и

, ,

, ,

- корни уравнения (3).

Корни уравнения (3) разбивают область определения неравенства на промежутки

знакопостоянства. Функция меняет знак при переходе через корень нечетной

кратности, а в промежутках между корнями знак функции постоянный. В

рассматриваемом на рисунке примере такими числовыми промежутками будут

промежутки ,

, ,

, .

Далее определяем в каждом из отмеченных числовых промежутков знак функции

. Для определения знака функции достаточно взять любое число из соответствующего

промежутка. подставить в функцию вместо переменной

и установить знак полученного числового выражения. Те числовые промежутки, в

которых функция положительная, будут решением неравенства (1), ибо любое

значение переменной, взятое из этих числовых промежутков, обращает его в

истинное числовое неравенство. Остальные числовые промежутки образуют множество

решений неравенства (2).

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Сначала находим решение соответствующего уравнения

возведем уравнение в куб:

Так как по условию выражение

должно равняться ,

то, сделав соответствующую замену, получим:

Возведем уравнение в куб и найдем искомые значения переменной: и .

Проверка 1.

- ложно, корень - посторонний.

Проверка 2.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31