), Основной случай для исследования - когда

- четное.

Пусть функция -

иррациональная, т.е. задается с помощью иррационального алгебраического

выражения и не может быть задана с помощью рационального алгебраического

выражения. Иррациональным неравенством называется неравенство вида

. Для того, чтобы найти множество решений иррационального неравенства,

приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень.

Несмотря на внешнюю схожесть процедуры решения иррационального уравнения и

иррационального неравенства, между ними существует большое отличие. При решении

иррациональных уравнений можно не заботиться о том, чтобы после возведения в

степень получилось уравнение, эквивалентное исходному: алгебраическое уравнение

имеет конечное число корней, из которых проверкой нетрудно отобрать решения

исходного иррационального уравнения.

Множество решений неравенства представляет собой, как правило, бесконечное

множество чисел, и поэтому непосредственная проверка решений путем

подстановки этих чисел в исходное неравенство становится принципиально

невозможной. Единственный способ, гарантирующий правильность ответа,

заключается в том, что мы должны следить за тем, чтобы при каждом

преобразовании неравенства у нас получалось неравенство, эквивалентное

исходному.

Решая иррациональные неравенства следует помнить, что при возведении обеих

его частей в нечетную степень всегда получается неравенство, эквивалентное

исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводить в четную

степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное исходному и имеющее

тот же знак, лишь в случае, если обе части исходного неравенства

неотрицательны.

4. Решение простейших иррациональных неравенств

Если иррациональное неравенство содержит один радикал, то всегда можно привести

его к равносильному неравенству, в котором радикал будет находиться в одной

части неравенства, а все другие члены неравенства - в другой его части, то есть

неравенству вида

или , где

и - рациональные

алгебраические выражения относительно переменной

. Привидение иррационального неравенства, содержащего один радикал к виду

(1)

или

(2),

называется уединением радикала.

Разобьем простейшие неравенства на две группы:

I – неравенства, содержащие радикал четной степени, т.е. .

II - неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е. .

I. Рассмотрим решение неравенств вида (1). Ясно, что всякое решение этого

неравенства является в то же время решением неравенства

(при этом условии имеет смысл левая часть неравенства) и решением неравенства

(поскольку ).

Значит, неравенство

(3)

равносильно системе неравенств:

где и

следствия неравенства (3). Так как в области, определяемой первыми двумя

неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и

принимают только неотрицательные значения, то их возведение в квадрат на

указанном множестве есть равносильное преобразование неравенства. В результате

получаем, что неравенство (3) равносильно системе неравенств:

Таким образом, мы вывели теорему о решении неравенств вида (3).

Теорема 1. Неравенство вида равносильно системе неравенств:

Аналогично для неравенств вида .

Теорема 2. Неравенство вида равносильно системе неравенств

Рассмотрим теперь неравенства вида (2), т.е.

(4)

Оно равносильно системе

(5)

Но в отличие от неравенства (3)

может здесь принимать как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому,

рассмотрев систему (5) в каждом из двух случаев

и , получим

совокупность систем:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31