|
допустимых значениях х, то тем более 
при всех х их ОДЗ неравенства (1), а поэтому достаточно решить
неравенство:
Это неравенство равносильно системе
Так как неравенство х2 + 5х + 38 ³ 0 выполняется при любых
значениях х (D = 25 – 4 × 28 < 0 и а = 1 > 0), то последняя
система равносильна неравенству:
х2 + 5х + 38 < 0
или
(х + 9)(х – 4) < 0
откуда методом интервалов находим решение неравенства (1)
Ответ: х Î ]-9; 4[
Неравенство (1) – неравенство вида
 .
Здесь применима подстановка 
и неравенство заменяется равносильным ему неравенством:
у2 – ky + d – c < 0, которое легко разрешимо.
Рассмотрим неравенство вида:
 , где можно применить подстановку  .
Пример 2. Решить неравенство:
Решение. Найдем ОДЗ неравенства: х £ 5. Положим 
, тогда у > x – 3, y ³ 0. Выразим х через у: у2 = 5 – х
Þ х = 5 – у2.
Получаем систему:
Откуда:
Значения x < 4 принадлежат ОДЗ.
Ответ: x < 4.
Пример 3. Решить неравенство
Решение. Найдем ОДЗ неравенства
при х ³ 2 второе и третье неравенства системы истинны. ОДЗ х ³ 2.
Пусть  , тогда исходное неравенство примет вид:
 (1)
Так как под радикалами в левой части неравенства (1) стоят полные квадраты,
то оно может быть представлено в следующем эквивалентном виде:
|t + 1| - |t – 1| > 1
Разобьем решение на три промежутка:
1) t £ -1
-t – 1 + t – 1 > 1 Æ
2) –1 < t £ 1
t + 1 + t – 1 > 1
2t > 1
t > ½
3) t > 1
t + 1 – t + 1 > 1 2 > 1 – истинно
Решением неравенства на всех трех промежутках будет t > ½
Подставляем 
Эти значения принадлежат ОДЗ.
Ответ: x > 2,25.
Пример 4. Решить неравенство:
Решение. Положим  , тогда  и мы получаем неравенство:
у2 – у – 2 >0,
откуда находим y < -1, y>2.
Теперь задача свелась к решению двух неравенств:
Первое неравенство не имеет корней во множестве действительных чисел,
поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только
неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.
 (1)
Пусть a < 0. В школьном курсе рациональная степень числа а не определяется, и
это не случайно. Пусть (1) верно, тогда:
Противоречие.
Итак, получаем: левая положительная часть меньше отрицательной правой, что не
имеет смысла.
Решим неравенство
Возведем обе части неравенства в пятую степень, получим x – 2 > 32, откуда x
> 34.
Ответ: x > 34.
9. Способ домножения обеих частей иррационального неравенства на некоторое
число, либо выражение.
Этот способ мы можем использовать, основываясь на теоремах 19 и 20 из
параграфа «Неравенства и их основные свойства».
Пример 1. Решить неравенство:
 (1)
Решение. Уединение радикала и возведение обеих частей полученного
неравенства в квадрат привело бы к громоздкому неравенству. В то же время, если
проявить некоторую наблюдательность, то можно заметить, что заданное
неравенство легко сводится к квадратному. Предварительно найдем ОДЗ
неравенства:
2х2 – 3х + 2 ³ 0
откуда получаем х – любое действительное число. Домножим обе части
неравенства (1) на 2 получим
и далее
Полагая  , получим у2 – 2у - 8 ³ 0, откуда у £ -2, у ³ 4.
Значит, неравенство (1) равносильно следующей совокупности неравенств:
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31
| 
