является в то же время частным решением неравенства

, полученного после преобразований неравенства

, то неравенство

называется следствием неравенства

. В следующих теоремах речь идет о преобразованиях, приводящих к равносильным

неравенствам.

Теорема 18. Если к обеим частям неравенства прибавить одну и туже

функцию , которая

определена при всех значениях

из области определения исходного неравенства, и при этом оставить без изменения

знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному. Таким

образом, неравенства

(1)

и

(2)

равносильны.

Доказательство: Пусть

=- произвольное

решение неравенства

. Тогда - истинное

числовое неравенство. Прибавим к обеим его частям число

(по условию это число существует, ибо неравенства (1) и (2) имеют одну и ту же

область определения. На основании свойства 6 числовых неравенств заключаем, что

числовое неравенство

- истинное. Следовательно, произвольное решение неравенства (1) является

решением неравенства (2).

Обратно, пусть -

произвольное решение неравенства (2), значит

- истинное числовое неравенство. После вычитания из обеих частей этого

неравенства числа

по свойству 6 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство

. Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и

произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Теорема

доказана.

Следствие. Неравенства

и

равносильны.

Теорема 19. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и

ту же функцию ,

которая при всех значениях

из области определения исходного неравенства принимает только положительные

значения, и при этом оставить без изменения знак исходного неравенства, то

получится неравенство, равносильное исходному.

Таким образом, если , то неравенства

(1)

и

(2)

(или ) равносильны.

Доказательство: пусть

произвольное решение неравенства (1). Тогда

- истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число

(по условию это число существует, ибо функция

имеет смысл при всех

из области определения неравенства (1), причем

). Н основании свойства 3 числовых неравенств заключаем. что числовое

неравенство (2) тоже истинное при

.

Обратно, пусть -

произвольное решение неравенства (2), значит

- истинное числовое неравенство. После деления обеих частей неравенства на число

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31