при

Сравним и , чтобы определить верхнюю границу значений .

при значит >.

Ответ: если , то

если . то .

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство перепишем так

(1)

Легко видеть, что при а = 0 неравенство решения не имеет. Рассмотрим значение

параметра а > 0 и а < 0: левая и правая части неравенства положительные,

поэтому при возведением неравенства в квадрат получим неравенства,

эквивалентное данному в области его определения. При a < 0 данное

неравенство тождественно истинное в области его определения (левая часть

неотрицательная, а правая отрицательная). Поэтому данное неравенство можно

заменить следующей эквивалентной совокупностью систем неравенств:

Рассмотрим неравенство (2). После выполнения преобразований получим:

При a > 0 значения х = а и х = 0 не удовлетворяют неравенству, а при

всех значениях 0 < x < a указанное неравенство тождественно истинное,

поэтому первая система совокупности эквивалентна системе:

Итак, решение неравенства (1)

1) если а > 0 0 < x < a

2) если а = 0 нет решений

3) если a < 0 a £ x £ 0

Пример 4. Решить неравенство:

Решение. Возводим неравенство в квадрат. Так как левая и правая части

неравенства неотрицательны, то эквивалентность не нарушается в области

определения неравенства. Первый радикал имеет смысл при x £ а, второй при

x £ b. При этих же значениях переменной имеет смысл и выражение, стоящее

в правой части неравенства.

Итак,

равносильно системе

но

,

значит последнее неравенство системы равносильно неравенству:

или

А система равносильна системе

* выполняется, если оба множителя под корнем больше нуля или оба меньше нуля,

значит наша система равносильна совокупности двух систем:

после выполнения преобразований получаем:

Видим, что в первой системе может быть два случая:

1) a ³ b,

2) b ³ a.

В первом случае решением системы будет x < b, а во втором x < a.

Ответ: 1) a ³ b x < b

2) a £ b x < а

8. Решение иррациональных неравенств, способом введения новой переменной.

Иррациональные неравенства, как и иррациональные уравнения можно решать

способом введения новой переменной. Рассмотрим использование этого метода на

примерах.

Пример 1. Решить неравенство:

Решение. Положив

, находим что х2 + 5х + 4 = у2 – 24, тогда неравенство (1)

преобразуется к виду:

у2 – 5y – 24 < 0

и далее решим уравнение:

у2 – 5y – 24 = 0

D = 25 + 96 = 121

y1 = -3, y2 = 8

получаем (у – 8)(у + 3) < 0.

Решением этого неравенства является промежуток -3 < y < 8.

Мы пришли к следующей системе неравенств:

Так как при всех

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31