Решение. Найдем ОДЗ неравенства:

откуда получаем, что ОДЗ неравенства х = 2 – единственная точка.

Подстановкой легко проверить, что х = 2 является решением исходного

неравенства.

Ответ: х = 2.

12. Решение более сложных примеров.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Используем метод интервалов. Решим соответствующее уравнение.

Решением уравнения являются значения переменной х = 0 и

при любом действительном значении параметра а.

Корни соответствующего уравнения разбивают числовую ось на промежутки

знакопостоянтства, в каждом из которых неравенство или тождественно истинное,

или тождественно ложное.

а) если a > 0, то

и числовая ось разбивается на следующие промежутки знакопостоянства: x < 0,

Рассмотрим промежуток

. Возьмем значение х = а из этого промежутка и подставим в данное

неравенство. Получим:

- истинное числовое неравенство. Следовательно, промежуток

принадлежит решению. Любое значение переменной х, взятое из промежутка

знакопостоянства

, обращает данное неравенство в ложное числовое неравенство. Например, при

имеем ложное числовое неравенство

.

Следовательно, промежуток не принадлежит решению.

Подставив, например, х = -а, взятое из промежутка знакопостоянства x < 0, в

данное неравенство, получим истинное числовое неравенство

. Значит, числовой промежуток x < 0 принадлежит решению. Итак, при a > 0

решением неравенства является объединение двух числовых промежутков x < 0 и

.

б) если a < 0, то

и числовая ось разбивается на промежутки знакопостоянства

. Как и в первом случае, устанавливаем, что данное неравенство тождественно

истинное в промежутках

и x > 0 и тождественно ложное в промежутке

. Следовательно, при a < 0 решением неравенства будет объединение двух

числовых промежутков

и x > 0.

в) при а = 0 .

Получим два промежутка знакопостоянства: x < 0 и x > 0, каждый из

которых, как легко установить принадлежит решению.

Ответ: 1) при

2) при .

Пример 2. Решить неравенство

ОДЗ: 5х – 7 ≥ 0

log57 ≤ x < +∞

Возводим обе части в квадрат:

решением последнего неравенства является промежуток х ≤ 2. Учитывая ОДЗ

получаем решение исходного неравенства log57 ≤ x ≤ 2.

Ответ: log57 ≤ x ≤ 2.

13. Подборка задач по теме «решение иррациональных неравенств».

14. Классические неравенства.

Рассмотрим некоторые наиболее важные для математического анализа неравенства.

Эти неравенства служат аппаратом, который повседневно используют специалисты,

работающие в этой области математики.

Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом.

Теорема 1. Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел а и b

не меньше их среднего геометрического, т. е.:

(1)

Равенство имеет место в том и только том случае, когда a = b.

Доказательство. Поскольку квадратный корень может доставить немало

хлопот, мы постараемся от него избавиться, положив a = c2, b = d

2, что допустимо, ибо в теореме 1 предполагается, что числа а и b

неотрицательны. При этом соотношение (1), в справедливости которого для

произвольных неотрицательных чисел а и b мы хотим убедиться, примет следующий

вид:

, (2)

где с и d – произвольные действительные числа.

Неравенство (2) имеет место в том и только том случае, когда

,

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31