|
ôóíêöèè
÷åðåç
íóëåâîå
çíà÷åíèå
äîêàçûâàåòñÿ
â
êëàññè÷åñêîì
ìàòåìàòè÷åñêîì
àíàëèçå
÷èñòî
àíàëèòè÷åñêè
ñ
èñïîëüçîâàíèåì
ïîíÿòèÿ
áåñêîíå÷íîãî
ìíîæåñòâà. Â
XVIII âåêå åñëè
ýòà òåîðåìà
è
äîêàçûâàëàñü,
òî ÷àùå
âñåãî
óêàçàíèåì
íà òî, ÷òî
íåïðåðûâíàÿ
êðèâàÿ f(x),
ñîåäèíÿþùàÿ
òî÷êè À è Â
,
ðàñïîëîæåííûå
â ïëîñêîñòè
ïî ðàçíûå
ñòîðîíû îñè
ÎÕ,
ñóùåñòâóåò
ïî ìåíüøåé
ìåðå îäíà
òî÷êà ñ
àáñöèññîé
õ=ñ, a<c<b, äëÿ
êîòîðîé f(ñ)=0
(ðèñ. 3).
Ðèñ. 3
Ïîäîáíîãî ðîäà ãåîìåòðèçàöèÿ íåðåäêî âñòðå÷àëàñü â ðóêîâîäñòâàõ ïî àëãåáðå è àðèôìåòèêå.
Íàïðèìåð, äîêàçàòåëüñòâî çàêîíà ïåðåìåñòèòåëüíîñòè ab=ba, ÿêîáû âåðíîãî äëÿ ëþáûõ ÷èñåë è âåëè÷èí, îáû÷íî ñâîäèëè íà äâà ðàâíûõ, íî ðàçëè÷íî ðàñïîëîæåííûõ ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 4).
Ðèñ. 4
Ýéëåð è
äðóãèå
ìàòåìàòèêè
XVIII âåêà
çàäàâàëè
ôóíêöèþ
îäíèì
àíàëèòè÷åñêèì
âûðàæåíèåì
è îò ýòîãî
àíàëèòè÷åñêîãî
âûðàæåíèÿ å¸
íå îòäåëÿëè.
Ïðè ýòîì, ïîä
àíàëèòè÷åñêèì
âûðàæåíèåì,
âîîáùå
ãîâîðÿ,
ïîíèìàëîñü
âûðàæåíèå,
êîòîðîå
ìîæíî
ïîëó÷èòü,
ñâÿçûâàÿ
ýëåìåíòàðíûå
ôóíêöèè
(àëãåáðàè÷åñêèå
è íåêîòîðûå
òðàíñöåíäåíòàëüíûå,
îäíîãî èëè
íåñêîëüêèõ
àðãóìåíòîâ)
ïîñðåäñòâîì
ñëîæåíèÿ,
âû÷èòàíèÿ,
óìíîæåíèÿ è
äåëåíèÿ,
âîçâåäåíèÿ â
ñòåïåíü è
èçâëå÷åíèÿ
êîðíÿ,
ðåøåíèÿ
àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé è
èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ñ÷èòàëè, ÷òî
çàäàíèå
ôóíêöèè íà
ëþáîì
ïðîìåæóòêå
îïðåäåëÿåò
å¸ ïîâåäåíèå
íà âñåé îñè
ÎÕ.
Ñîîòâåòñòâåííî
ôóíêöèÿ
ïðåäñòàâëÿëàñü
êðèâîé,
÷àñòè
êîòîðîé
çàâèñÿò
äðóã îò äðóãà
è êîòîðóþ
ìîæíî
çàäàòü
îäíèì
àíàëèòè÷åñêèì
âûðàæåíèåì
óêàçàííîãî
âèäà. Òàêèå
ôóíêöèè
ñ÷èòàëè
íåïðåðûâíûìè
(â ñìûñëå
Ýéëåðà),
íàçûâàëèñü
ïðàâèëüíûìè.
Ïðåäñòàâëåííàÿ
íà ÷åðòåæå
(ðèñ. 5)
íåïðåðûâíàÿ
â
ñîâðåìåííîì
ñìûñëå
ôóíêöèÿ ó=|õ|
â ñìûñëå
Ýéëåðà íå
áûëà
íåïðåðûâíîé.
Äåéñòâèòåëüíî,
åñëè
èñïîëüçîâàòü
çàïàñ
ôóíêöèé, ñ
êàêèì
ðàáîòàëè â XVIII
âåêå, òî ýòà
ôóíêöèÿ
äîëæíà áûòü
çàäàíà
äâóìÿ
ôîðìóëàìè:
f(x)=x, 0£x;
f(x)=–x, x£0.
Ðèñ. 5
Âìåñòå ñ
äðóãèìè
ìàòåìàòèêàìè
XVIII âåêà Ýéëåð
ñ÷èòàë, ÷òî
òàêîå
òîëêîâàíèå
ôóíêöèè è å¸
íåïðåðûâíîñòè
äîñòàòî÷íû
äëÿ
èíòåãðàëüíîãî
è
äèôôåðåíöèàëüíîãî
èñ÷èñëåíèÿ
è òåîðèè
îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35
|
