õîòèì”.

Êîøè ïèñàë: f(x) íåïðåðûâíà äëÿ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ õ, êîãäà “áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðèðàùåíèå ïåðåìåííîé ïðîèçâîäèò áåñêîíå÷íî ìàëûå ïðèðàùåíèÿ ñàìîé ôóíêöèè”.

Ñíà÷àëà òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè îïðåäåëÿëèñü ÷èñòî îòðèöàòåëüíî. Êîøè ïèñàë: “Êîãäà f(x) ïåðåñòàåò áûòü íåïðåðûâíî â ñîïðåäåëüíîñòè ÷àñòíîãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé õ, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíà äåëàåòñÿ ïðåðûâíîþ è ÷òî äëÿ ýòîãî ÷àñòíîãî çíà÷åíèÿ ïðîèñõîäèò ðàçðûâ íåïðåðûâíîñòè”.

Âî âòîðîé

÷åòâåðòè XIX

âåêà òî÷êè

ðàçðûâà

ôóíêöèè f(x)

èçó÷àëè

Ïóàññîí,

Ëèáðè è äð. Â

ñâîèõ

ìàòåìàòè÷åñêèõ

ìåìóàðàõ

Ëèáðè ïèñàë,

÷òî âïåðâûå

ðàçðûâíûå

ôóíêöèè

ñäåëàëèñü

ïðåäìåòîì

èññëåäîâàíèé

â ðàáîòàõ

Äàíèèëà

Áåðíóëëè,

Ýéëåðà è

Äàëàìáåðà.

Îäíàêî,

ïîä÷åðêíóë

îí, òîëüêî

èññëåäîâàíèÿ

Ôóðüå,

Ïóàññîíà è

äðóãèõ

ìàòåìàòèêîâ

î ðàçðûâíûõ

ôóíêöèÿõ

ðàññåÿëè âñå

ñîìíåíèÿ,

êîòîðûå âñå

åù¸

ñâÿçûâàëèñü

ñ ïðèðîäîé

ýòèõ

ôóíêöèé.

Òî÷íîå

ðàçëè÷èå

ìåæäó

òî÷êàìè

ðàçðûâà

ïåðâîãî è

âòîðîãî ðÿäà

è,

ñîîòâåòñòâåííî

ýòîìó, èõ

ïðÿìûå

îïðåäåëåíèÿ

âîøëè â

ïðàêòèêó

ìàòåìàòè÷åñêèõ

èññëåäîâàíèé

âî âòîðîé

ïîëîâèíå XIX

âåêà.

Íàêîíåö, â ñâÿçè ñî âñåì ýòèì âûÿñíèëîñü, ÷òî íå êàæäàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ âìåñòå ñ òåì è äèôôåðåíöèðóåìîé. Ïåðâûé ïðèìåð íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, íå èìåþùåé ïðîèçâîäíîé â êàæäîé òî÷êå, äàë Áîëüöàíî, îäíàêî åãî ïðèìåð â ñâîå âðåìÿ îñòàëñÿ ìàòåìàòèêàì íåèçâåñòíûì.

Âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà ïðèìåð òàêîãî ðîäà ôóíêöèè ïîñòðîèë Áåéåðøòðàññ. Ëîáà÷åâñêèé äàë òî÷íûå îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè è äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè è ïîä÷åðêíóë ðàçëè÷èÿ ìåæäó ýòèìè ïîíÿòèÿìè.

Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà êëàññè÷åñêèé àíàëèç ñòàíîâèòñÿ íàóêîé î âñåõ âîçìîæíûõ âèäàõ ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî â èõ îáùåì âèäå. Êîðåííîìó èçìåíåíèþ ïîäâåðãñÿ íå òîëüêî îáúåêò ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà; ïðîèçîøëî êîðåííîå èçìåíåíèå è â ìåòîäàõ èçó÷åíèÿ ôóíêöèé.

Êàê óæå

óêàçûâàëîñü,

ðàçâèòèå

ïîíÿòèÿ

èíòåãðàëà è

ðàçðàáîòêà

òåõíèêè åãî

âû÷èñëåíèÿ

ïîêàçàëè,

÷òî

îïðåäåëåííûé

èíòåãðàë

(äâîéíîé,

òðîéíîé

èíòåãðàëû ïî

ïîâåðõíîñòè,

íåñîáñòâåííûå

èíòåãðàëû)

íåîáõîäèìî

îáîñíîâûâàòü

ñàìîñòîÿòåëüíî,

íåçàâèñèìî

îò ïîíÿòèÿ

íåîïðåäåëåííîãî

èíòåãðàëà. Â

ñâÿçè ñ ýòèì

âîçíèê

âîïðîñ î

ñóùåñòâîâàíèè

ïðåäåëîâ

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35