|
Êàíòîð
äîêàçàë, ÷òî
âïîëíå
óïîðÿäî÷åííîå
ìíîæåñòâî
íå ìîæåò
áûòü ïîäîáíî
ëþáîìó
ñâîåìó
îòðåçêó.
 1899 ãîäó Êàíòîð îòêðûë åù¸ îäèí ïàðàäîêñ è ñîîáùèë î íåì Ð. Äåäåêèíäó.  1901 ãîäó ýòîò ïàðàäîêñ ïðèâëåê âíèìàíèå Á. Ðàññåëà.
Парадокс Кантора.
Ïóñòü N —
ìíîæåñòâî
âñåõ
âîçìîæíûõ
ìíîæåñòâ, S
—ìíîæåñòâî
âñåõ
âîçìîæíûõ
ïîäìíîæåñòâ
ìíîæåñòâà N.
Ïîñêîëüêó
ìîùíîñòü
ìíîæåñòâà
âñåõ
âîçìîæíûõ
ïîäìíîæåñòâ
ëþáîãî
ìíîæåñòâà
èìååò
ìîùíîñòü,
áîëüøóþ
ìîùíîñòè
ýòîãî
ìíîæåñòâà,
òî ìîùíîñòü
S äîëæíà áûòü
áîëüøå
ìîùíîñòè N.
Ñ äðóãîé
ñòîðîíû,
ìíîæåñòâî N
åñòü
ìíîæåñòâî
âñåõ
âîçìîæíûõ
ìíîæåñòâ;
ñëåäîâàòåëüíî
S ÿâëÿåòñÿ
ïîäìíîæåñòâîì
N. Íî
ìîùíîñòü
ïîäìíîæåñòâà
íå áîëüøå
ìîùíîñòè
ìíîæåñòâà;
çíà÷èò
ìîùíîñòü S
íå áîëüøå
ìîùíîñòè N.
Íàèáîëüøóþ èçâåñòíîñòü ïðèîáðåë ïàðàäîêñ, îòêðûòûé Á. Ðàññåëîì â 1902 ãîäó è îïóáëèêîâàííûé èì â 1903 ãîäó. Ýòîò ïàðàäîêñ îòêðûë è Ý. Öåðìåëî, íî â ïå÷àòè åãî íå îïóáëèêîâàë.
Парадокс Рассела.
Î íåêîòîðûõ
ìíîæåñòâàõ
ìîæíî
ñêàçàòü, ÷òî
îíè
ñîäåðæàò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ñâîåãî
ýëåìåíòà;
òàêîâî,
íàïðèìåð,
ìíîæåñòâî
âñåõ
ìíîæåñòâ.
Ðàñïðåäåëèì
âñå
âîçìîæíûå
ìíîæåñòâà
íà äâà
êëàññà. Ê
ïåðâûì
îòíåñåì òå
ìíîæåñòâà,
êîòîðûå íå
ñîäåðæàò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ñâîèõ
ýëåìåíòîâ.
Êî âòîðîìó
îòíåñåì âñå
îñòàëüíûå, ò.
å. êîòîðûå
ñîäåðæàò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ñâîèõ
ýëåìåíòîâ.
Ðàññìîòðèì
ïåðâûé êëàññ
ìíîæåñòâ.
Ýòîò êëàññ
ìíîæåñòâ â
ñâîþ î÷åðåäü
ÿâëÿåòñÿ
íåêîòîðûì
ìíîæåñòâîì
N, à ïîòîìó
ïðèíàäëåæèò
ê ïåðâîìó èëè
êî âòîðîìó
êëàññó.
Äîïóñòèì,
÷òî
ìíîæåñòâî N
ïðèíàäëåæèò
ê ïåðâîìó
êëàññó.
Ïåðâûé êëàññ
— ýòî êëàññ
ìíîæåñòâ,
êàæäîå èç
êîòîðûõ íå
ñîäåðæèò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà. Íî
åñëè N
ïðèíàäëåæèò
ê ïåðâîìó
êëàññó, òî
òàê êàê
ìíîæåñòâî N
åñòü
ìíîæåñòâî
âñåõ
ìíîæåñòâ
ïåðâîãî
êëàññà, îíî
äîëæíî
ñîäåðæàòü è
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà.
Èòàê, åñëè
ìíîæåñòâî N
íå ñîäåðæèò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà, òî
îíî ñîäåðæèò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà,
ñëåäîâàòåëüíî
íåëüçÿ
ïðåäïîëàãàòü,
÷òî
ìíîæåñòâî N
ïðèíàäëåæèò
ê ïåðâîìó
êëàññó.
Ïðåäïîëîæèì
òåïåðü, ÷òî
ìíîæåñòâî N
ïðèíàäëåæèò
êî âòîðîìó
êëàññó, ò. å.
ñîäåðæèò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà. Íî
ýëåìåíòàìè
ìíîæåñòâà N
ÿâëÿþòñÿ
òîëüêî
ìíîæåñòâà,
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35
|
