|
Ðàññìîòðèì
òåïåðü
äðóãîé
ïðèìåð. ÷èñëî
íàçûâàåòñÿ
àëãåáðàè÷åñêèì,
åñëè îíî
ÿâëÿåòñÿ
êîðíåì
êàêîãî-ëèáî
àëãåáðàè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ ñ
öåëûìè
êîýôôèöèåíòàìè.
Íàïðèìåð,
÷èñëî 
àëãåáðàè÷åñêîå,
ò. ê. îíî
ÿâëÿåòñÿ
êîðíåì
óðàâíåíèÿ õ
2–2=0. Íàïðîòèâ,
÷èñëî, íå
óäîâëåòâîðÿþùåå
íèêàêîìó
àëãåáðàè÷åñêîìó
óðàâíåíèþ ñ
öåëûìè
êîýôôèöèåíòàìè,
íàçûâàåòñÿ
òðàíñöåíäåíòíûì
÷èñëîì.
Äîêàæåì,
ñëåäóÿ
Êàíòîðó,
ñóùåñòâîâàíèå
òðàíñöåíäåíòíûõ
÷èñåë.
Èçâåñòíî,
÷òî
ìíîæåñòâî
âñåõ
àëãåáðàè÷åñêèõ
÷èñåë
ñ÷¸òíî, â òî
âðåìÿ êàê
ìíîæåñòâî
âñåõ
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë
íåñ÷¸òíî.
Åñëè áû
òðàíñöåíäåíòíûå
÷èñëà íå
ñóùåñòâîâàëè,
êàæäîå
äåéñòâèòåëüíîå
÷èñëî áûëî
áû
àëãåáðàè÷åñêèì
è,
ñëåäîâàòåëüíî,
ìíîæåñòâî
âñåõ
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë áûëî
áû ñ÷åòíûì.
÷òîáû
èçáåæàòü
ïðîòèâîðå÷èÿ
îñòàåòñÿ
ïðèíÿòü, ÷òî
òðàíñöåíäåíòíûå
÷èñëà
ñóùåñòâóþò,
õîòü
äîêàçàòåëüñòâî
íå äàåò íàì
íè îäíîãî
ïðèìåðà
òðàíñöåíäåíòíîãî
÷èñëà. Ýòî
ïðèìåð
íåýôôåêòèâíîãî
äîêàçàòåëüñòâà.
Â
íåýôôåêòèâíûõ
äîêàçàòåëüñòâàõ
ñóùåñòâîâàíèÿ
(îñíîâàííûå,
íàïðèìåð, íà
ïðèíöèïå
èñêëþ÷åííîãî
òðåòüåãî) íå
äàåòñÿ
íèêàêîãî
ïðèìåðà
îáúåêòîâ,
ñóùåñòâîâàíèå
êîòîðûõ
äîêàçûâàåòñÿ.
Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ ÿâèëèñü äîïîëíèòåëüíûì (íî íå åäèíñòâåííûì) îñíîâàíèåì ïîñòàâèòü ïîä ñîìíåíèå íå òîëüêî ýôôåêòèâíûå äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ, áàçèðóþùèåñÿ íà àêñèîìå Öåðìåëî, íî è ëþáûå íåýôôåêòèâíûå äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Ìîæíî ëè, ñïðàøèâàëè ìàòåìàòèêè, âûñêàçûâàâøèå ýòè ñîìíåíèÿ, ñ÷èòàòü ñóùåñòâóþùèì ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò, êîòîðûé ìû íå óìååì ïîñòðîèòü, ìíîæåñòâî, íå îäíîãî ýëåìåíòà êîòîðîãî ìû íå ñóìååì óêàçàòü?
Êàêîå çíà÷åíèå èìåëè ñîìíåíèÿ â ïðàâîìåðíîñòè íåýôôåêòèâíûõ äîêàçàòåëüñòâ ñóùåñòâîâàíèÿ äëÿ ìàòåìàòèêè íà÷àëà ÕÕ âåêà? Î÷åíü áîëüøîå! Îíè, ïî ñóòè, ñòàâèëè ïîä ñîìíåíèå êîíöåïöèþ Êàíòîðà, òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå îáîñíîâàíèå ìàòåìàòèêè è ðÿä êîíêðåòíûõ ðåçóëüòàòîâ êëàññè÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.
Íîâîå â ïîñòàíîâêå ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå íà÷àëà ÕÕ âåêà ñîñòîÿëî â òîì, ÷òî ýòà ïðîáëåìà ìíîãî øèðå è ãëóáæå, ÷åì ðàíüøå, çàõâàòèëà îñíîâíûå âîïðîñû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè è ëîãèêè è îêàçàëàñü òåñíî ñâÿçàííîé è ñ ôèëîñîôèåé.
Список литературы.
1. È. Í. Áóðîâà. Ïàðàäîêñû òåîðèè ìíîæåñòâ è äèàëåêòèê.
2. À. Í. Êîëìîãîðîâ. Ìàòåìàòèêà â å¸ èñòîðè÷åñêîì ðàçâèòèè.
3. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ.
4. Â. Í. Ìîëîäøèé. Î÷åðêè ïî ôèëîñîôñêèì âîïðîñàì ìàòåìàòèêè.
5. Ã. È. Ðóçàâèí. Î ïðèðîäå ìàòåìàòè÷åñêîãî çíàíèÿ.
6. Ôèëîñîôñêèå ïðîáëåìû åñòåñòâîçíàíèÿ. Ïîä ðåä. Ñ. Ò. Ìèëþõèíà.
7. È. Ç. Öåõìèñòðî. Äèàëåêòèêà ìíîæåñòâåííîãî è åäèíîãî.
8. Ñ. À. ßíîâñêàÿ. Ìåòîäîëîãè÷åñêèå ïðîáëåìû íàóêè.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35
|
