|
çàíèìàòüñÿ
èäåÿìè
÷èñëà è
âåëè÷èíû”.
Èòàê, ðàçðàáîòàííûå â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ è ìåòîäû ìàòåìàòèêè ïîçâîëèëè ìàòåìàòèêàì ïåðåñòðîèòü ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, àëãåáðó, ó÷åíèå î ÷èñëå è îò÷àñòè ãåîìåòðèþ â ñîîòâåòñòâèè ñ òðåáîâàíèÿìè íîâîé ìåòîäîëîãèè. Íîâàÿ ìåòîäîëîãèÿ ìàòåìàòèêè ñïîñîáñòâîâàëà ïðåîäîëåíèþ êðèçèñà å¸ îñíîâ è ñîçäàëà äëÿ íå¸ øèðîêèå ïåðñïåêòèâû äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ.
III. Способы обоснования математики в последней четверти XIX века и начала XX
века 1. Теория множеств. Основные понятия
учения о множествах Г. Кантора
Äëÿ ÷åãî
ìàòåìàòèêè
ïîñëåäíèõ
äåñÿòèëåòèé
XIX âåêà
ïîòðåáîâàëîñü
îáùåå
ó÷åíèå î
ìíîæåñòâàõ,
îðãàíè÷åñêè
ñâÿçàííûõ ñ
ïîíÿòèåì
àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè?
Ã. Êàíòîð
îòâåòèë íà
ýòîò âîïðîñ
òàê: “.äëÿ
îáîñíîâàíèÿ
àðèôìåòèêè
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë, äëÿ
äîêàçàòåëüñòâà
ôóíäàìåíòàëüíûõ
òåîðåì
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà è
òåîðèè
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ðÿäîâ”. Ã.
Êàíòîð
óêàçûâàë
òàêæå, ÷òî
èäåè è
ìåòîäû
îáùåãî
ó÷åíèÿ î
ìíîæåñòâàõ
ÿâëÿþòñÿ
äåéñòâåííûìè
îðóäèÿìè
îòûñêàíèÿ
íîâûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ôàêòîâ è
ðàçâèòèÿ
íîâûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
òåîðèé. Â
ýòîé ñâÿçè
îí ñ÷åë
âîçìîæíûì
óòâåðæäàòü,
÷òî äëÿ
ìàòåìàòèêè
ïîíÿòèå
àêòóàëüíîé
áåñêîíå÷íîñòè
ñóùåñòâåííî
íåîáõîäèìî.
Îñíîâíûì ïîíÿòèåì îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà (ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè). “Ïîä ìíîãîîáðàçèåì, èëè ìíîæåñòâîì,— ïèñàë Ã. Êàíòîð,— ÿ ïîíèìàþ âîîáùå âñÿêîå ìíîãîå, êîòîðîå ìîæíî ìûñëèòü êàê åäèíîå, ò. å. âñÿêóþ ñîâîêóïíîñòü îïðåäåëåííûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ñâÿçàíà â îäíî öåëîå ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîãî çàêîíà.”
Êàíòîð íàçûâàë ìíîæåñòâî Ð îïðåäåëåííûì, åñëè îòíîñèòåëüíî ëþáîãî îáúåêòà ìîæíî ñêàçàòü, ïðèíàäëåæèò îí ìíîæåñòâó Ð èëè íå ïðèíàäëåæèò.
Ïîíÿòèå çàêîíà Ã. Êàíòîð ñ÷èòàë èñõîäíûì, íåîïðåäåëèìûì. Âìåñòå ñ òåì, â åãî êîíöåïöèè ïîíÿòèå çàêîíà èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü. Òàê êàê ñîãëàñíî çàêîíó ýëåìåíòû íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè ìîãóò áûòü ñâÿçàíû â îäíî öåëîå, òî çàêîí îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå ìíîæåñòâà. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè ìíîæåñòâî ñóùåñòâóåò, òî ìîæíî äàòü çàêîí, îáåñïå÷èâàþùèé åãî ñóùåñòâîâàíèå.
Îïåðàòèâíûìè ïîíÿòèÿìè îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà ÿâëÿþòñÿ ïîíÿòèÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ ìîùíîñòè è êîëè÷åñòâà ìíîæåñòâà.
Êàíòîð îïðåäåëèë ìîùíîñòü — òåïåðü ÷àñòî ãîâîðÿò: “êîëè÷åñòâåííîå ÷èñëî” — êàê ðåçóëüòàò àáñòðàêöèè îò ñîäåðæàíèÿ è ïîðÿäêà ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35
|
