|
íàçâàííàÿ
îãðàíè÷èòåëüíàÿ
òåíäåíöèÿ
áûëà äëÿ íåãî
ñîâåðøåííî
÷óæäîé.
Åñëè ïðèíÿòü ñèñòåìó Z, òî â íåêîòîðûõ ñóùåñòâåííûõ ïóíêòàõ òåîðèÿ ìíîæåñòâ Êàíòîðà ïîëó÷èò äîñòàòî÷íîå îáîñíîâàíèå. Îáóñëîâëèâàåòñÿ ýòî ñëåäóþùèìè ïðè÷èíàìè.  ñèñòåìå Öåðìåëî èìååòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ àêñèîìà âûáîðà (ðàíüøå å¸ îáû÷íî íàçûâàëè ïðîñòî àêñèîìîé Öåðìåëî: â äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì íàçûâàòü å¸ èìåííî òàê):
Åñëè äàíî ìíîæåñòâî Ì, ñîñòîÿùåå èç ìíîæåñòâ N, íå ïóñòûõ è áåç îáùèõ ýëåìåíòîâ, òî èç êàæäîãî ìíîæåñòâà N ìîæíî âûáðàòü ïî îäíîìó ýëåìåíòó; ñîâîêóïíîñòü âûáðàííûõ ýëåìåíòîâ îáðàçóåò íîâîå ìíîæåñòâî Ð.
Âïîñëåäñòâèè îðòîäîêñàëüíûå ïîñëåäîâàòåëè Ã. Êàíòîðà íåðåäêî èçìåíÿëè ôîðìóëèðîâêó àêñèîìû Öåðìåëî òàê, ÷òî îíà ñòàíîâèëàñü óòâåðæäåíèåì ñóùåñòâîâàíèÿ: Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà Ì ìíîæåñòâ N, íå ïóñòûõ è íå èìåþùèõ îáùèõ ýëåìåíòîâ, ñóùåñòâóåò (ïî êðàéíåé ìåðå îäíî) ìíîæåñòâî Ð, ñîäåðæàùåå ïî îäíîìó è òîëüêî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîãî ìíîæåñòâà N.
Óòâåðæäåíèå ñóùåñòâîâàíèÿ ìíîæåñòâà Ð ïîíèìàëîñü, êîíå÷íî, â ñìûñëå Êàíòîðà.
Îïèðàÿñü íà
ýòó àêñèîìó
Öåðìåëî
äîêàçàë, ÷òî
âñÿêîå
ìíîæåñòâî
ìîæåò áûòü
ïðåäñòàâëåíî
â ôîðìå
âïîëíå
óïîðÿäî÷åííîãî
ìíîæåñòâà, ò.
å., ÷òî
ìîùíîñòü
ëþáîãî
ìíîæåñòâà
åñòü àëåîð.
Êàê
óêàçûâàëîñü
âûøå, ýòîò
ôàêò
îáåñïå÷èâàåò
âîçìîæíîñòü
ïîñòðîåíèÿ
àðèôìåòèêè
êàðäèíàëüíûõ
òðàíñôèíèòíûõ
÷èñåë ïî÷òè
âî âñåé
îáùíîñòè.
Äîñòàòî÷íî
ñêàçàòü, ÷òî
àêñèîìà
Öåðìåëî
ïîçâîëÿåò
ðåøèòü â
óòâåðäèòåëüíîì
ñìûñëå
ïðîáëåìó
òðèõîòîìèè
è äàåò
îáîñíîâàíèå
òðàíñôèíèòíîé
èíäóêöèè.
Òîëüêî
ãèïîòåçà
êîíòèíóóìà
îñòàâàëàñü
ïî ïðåæíåìó
çàãàäêîé.
Öåðìåëî ìîã
óòâåðæäàòü,
÷òî
ìîùíîñòü
êîíòèíóóìà
åñòü àëåîð,
íî êàêîå
ìåñòî íà
øêàëå
àëåîðîâ
çàíèìàåò Ñ
— ýòî
îñòàâàëîñü
íåèçâåñòíûì.
Ê ýòîìó
ìîæíî òîëüêî
ïðèáàâèòü,
÷òî
äîêàçàòåëüñòâà
ýêâèâàëåíòíîñòè
äðóã äðóãó
íåêîòîðûõ
ôîðì
ãèïîòåçû
êîíòèíóóìà
òàêæå
îïèðàþòñÿ
íà àêñèîìó
Öåðìåëî.
Áîëåå äåñÿòè ëåò ñ ìîìåíòà îïóáëèêîâàíèÿ ìåìóàðîâ Öåðìåëî ïðèëîæåíèÿ àêñèîìû âûáîðà îãðàíè÷èâàëèñü îáëàñòüþ òåîðèè ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî. Êðîìå óêàçàííûõ, ìîæíî, íàïðèìåð, óïîìÿíóòü ïðèëîæåíèÿ ýòîé àêñèîìû â òåîðèè òî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ è, â ÷àñòíîñòè, â òåîðèè èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35
|
