|
íå
ñîäåðæàùèå
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà.
Ñëåäîâàòåëüíî,
åñëè N
ñîäåðæèò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà, òî
N íå ñîäåðæèò
ñåáÿ â
êà÷åñòâå
ýëåìåíòà. Ìû
îïÿòü ïðèøëè
ê
ïðîòèâîðå÷èþ
è âûíóæäåíû
ïðèçíàòü,
÷òî
ìíîæåñòâî N
íå ìîæåò íè
ïðèíàäëåæàòü,
íè íå
ïðèíàäëåæàòü
ê ïåðâîìó
êëàññó.
 íàøå âðåìÿ èçâåñòíû è äðóãèå ïàðàäîêñû.
4. Аксиоматические построения
теории множеств по Цермело
Ñ íà÷àëà XX âåêà è äî íàøèõ äíåé íå ïðåêðàùàþòñÿ ïîïûòêè ïðåîäîëåòü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ïîñòðîåíèåì è ïàðàäîêñàìè òåîðèè ìíîæåñòâ. Óñòàíîâëåííûå â ýòîì íàïðàâëåíèè ðåçóëüòàòû íå ïîëó÷èëè, îäíàêî, âñåîáùåãî ïðèçíàíèÿ. Åñëè è ìîæíî ãîâîðèòü î öåííûõ ðåçóëüòàòàõ, çäåñü íàéäåííûõ, òî â ïåðâóþ î÷åðåäü â ñâÿçè ñ ðàçëè÷íûìè âàðèàíòàìè àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ.
Âïåðâûå
àêñèîìàòè÷åñêîå
ïîñòðîåíèå
òåîðèè
ìíîæåñòâ
îñóùåñòâèë
Ý. Öåðìåëî â 1908
ãîäó.
Âïîñëåäñòâèè
àêñèîíîìàòèêà
Öåðìåëî áûëà
äîïîëíåíà è
âèäîèçìåíåíà
â ðàáîòàõ À.
Ôðåíêåëÿ (1922, 1925), Ò.
Ñêîëåìà (1922-1923, 1929),
Äæ. Íåéìàíà (1925,
1928), Ï. Áåðíàéñà
(1937-1954) è äðóãèõ
ìàòåìàòèêîâ.
Òàê, Ôðåíêåëü
äîïîëíèë
àêñèîíîìàòèêó
Öåðìåëî
îäíîé
àêñèîìîé,
ïîñëå ÷åãî
ïîëó÷èëàñü
íîâàÿ
ñèñòåìà
àêñèîì — å¸
íàçâàëè
ñèñòåìîé
Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ
— áîëåå
ñèëüíàÿ, ÷åì
èñõîäíàÿ
ñèñòåìà
àêñèîì
Öåðìåëî. Â
îòëè÷èå îò
ñèñòåìû
Öåðìåëî,
îáîçíà÷àåìîé
îáû÷íî
áóêâîé Z,
ñèñòåìó
Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ
îáîçíà÷àþò
äâóìÿ
áóêâàìè: ZF. Ñ
ïîìîùüþ ZF
ìîæíî
ïîëó÷èòü ðÿä
ôóíäàìåíòàëüíûõ
ðåçóëüòàòîâ,
íå
äîêàçóåìûõ
ñ ïîìîùüþ Z.
Öåðìåëî ñôîðìóëèðîâàë ñèñòåìó àêñèîì, â êîòîðîé îïèñàë íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ. Îñòàëüíûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ, óñòàíîâëåííûå â òåîðèè ìíîæåñòâ Êàíòîðà, Öåðìåëî ïûòàëñÿ âûâåñòè èç ñâîèõ àêñèîì.
Îñíîâíîé
çàìûñåë
Öåðìåëî
ñîñòîÿë â
òîì, ÷òîáû
îãðàíè÷èòü
îáëàñòü
ïðèìåíåíèÿ
àêñèîíîìàòèêè
Z òîëüêî
òàêèìè
ìíîæåñòâàìè,
ðàññìîòðåíèå
êîòîðûõ íå
ïðèâîäèò ê
ïàðàäîêñàì.
Âïîñëåäñòâèè,
ïðè
ðàçðàáîòêå
íîâûõ
âàðèàíòîâ
àêñèîíîìàòèêè
òåîðèè
ìíîæåñòâ,
ýòà
îãðàíè÷èòåëüíàÿ
òåíäåíöèÿ
ïîëó÷èëà
âñåîáùåå
ïðèçíàíèå.
Ïîçâîëèòåëüíî,
îäíàêî,
äóìàòü, ÷òî â
îäíîì
ñóùåñòâåííîì
ïóíêòå îíà
íå îòâå÷àåò
îñíîâíûì
óñòàíîâêàì
è çàìûñëó
ñàìîãî Ã.
Êàíòîðà.
Êàíòîð
ñòðåìèëñÿ
ðàçâèòü
òåîðèþ
ìíîæåñòâ âî
âñåé
îáùíîñòè,
êàê òåîðèþ,
îòíîñÿùóþñÿ
ê ëþáûì
ìíîæåñòâàì;
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35
|
