îáîñíîâàòü

óòâåðæäåíèÿ,

îòíîñÿùèåñÿ

ê îáúåìàì

òåë

(ïèðàìèäû,

êîíóñà,

öèëèíäðà è

øàðà), õîòÿ,

êîíå÷íî, ýòè

óòâåðæäåíèÿ

áûëè

óñòàíîâëåíû

ýìïèðè÷åñêè

ìíîãî âåêîâ

ðàíüøå. Íå

çíàëè

ïèôàãîðåéöû

è îòíîøåíèÿ

ïîâåðõíîñòè

øàðà ê

áîëüøîìó

êðóãó. Â

îáëàñòè

àðèôìåòèêè

ïèôàãîðåéöû

èçó÷àëè

ñâîéñòâà

÷åòíûõ è

íå÷åòíûõ,

ïðîñòûõ è

ñîñòàâíûõ

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë,

èñêàëè

ñîâåðøåííûå

÷èñëà, ò. å.

òàêèå,

êîòîðûå

ðàâíû ñóììå

âñåõ ñâîèõ

äåëèòåëåé

(íàïðèìåð, 6=1+2+3;

28=1+2+4+7+14). Ïî

âèäèìîìó,

îíè

óñòàíîâèëè,

÷òî åñëè

÷èñëî 2ï–1

ÿâëÿåòñÿ

ïðîñòûì, òî

÷èñëî 2ï–1´(2

ï–1) —

ñîâåðøåííîå.

Ïèôàãîðåéöû

çíàëè òàêæå

äðîáíûå

÷èñëà è â

ýòîé ñâÿçè

ðàçðàáîòàëè

òåîðèþ

àðèôìåòè÷åñêîé

è

ãåîìåòðè÷åñêîé

ïðîïîðöèé.

Îíè âëàäåëè

ïîíÿòèÿìè

ñðåäíåãî

àðèôìåòè÷åñêîãî,

ñðåäíåãî

ãåîìåòðè÷åñ­êîãî

è ñðåäíåãî

ãàðìîíè÷åñêîãî.

Êàê íè âåëèêè çàñëóãè ïèôàãîðåéöåâ â ðàçâèòèè ñîäåðæàíèÿ è ñèñòåìàòèçàöèè ãåîìåòðèè è àðèôìåòèêè, îäíàêî âñå îíè íå ìîãóò ñðàâíèòüñÿ ñî ñäåëàííûì èìè æå îòêðûòèåì íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí. Ýòî îòêðûòèå ÿâèëîñü ïîâîðîòíûì ïóíêòîì â èñòîðèè àíòè÷íîé ìàòåìàòèêè.

Ïî ïîâîäó ýòîãî îòêðûòèÿ Àðèñòîòåëü ãîâîðèë, ÷òî Ïèôàãîð ïîêàçàë, ÷òî åñëè áû äèàãîíàëü êâàäðàòà áûëà áû ñîèçìåðèìà ñ åãî ñòîðîíîé, òî ÷åòíîå ðàâíÿëîñü áû íå÷åòíîìó.

Ðèñ. 1

Ýòî çàìå÷àíèå Àðèñòîòåëÿ ÿñíî ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè äîêàçàòåëüñòâå íåñîèçìåðèìîñòè äèàãîíàëè êâàäðàòà ñ åãî ñòîðîíîé Ïèôàãîð èñïîëüçîâàë ìåòîä îò ïðîòèâíîãî (ðèñ. 1).

Ïóñòü, äåéñòâèòåëüíî, äèàãîíàëü ÀÂ ñîèçìåðèìà ñî ñòîðîíîé ÀÑ êâàäðàòà ÀÑÂÄ.

Òîãäà , ãäå ð è q — íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Äðîáü ìîæíî ñ÷èòàòü íåñîêðàòèìîé (èíà÷å å¸ ìîæíî áûëî áû ñîêðàòèòü); çíà÷èò, ð èëè q áóäåò ÷èñëîì íå÷åòíûì.

Ïðèìåì ÀÑ=1. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà äîëæíî áûòü:

;

Çíà÷èò

,

ò. å. ð2 äåëèòñÿ íàöåëî íà 2; ñëåäîâàòåëüíî è ð òàêæå äåëèòñÿ íàöåëî íà 2:

ð=2ð1,

ãäå ð1 — íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.

Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì:

q=2q1,

ãäå q1 òàêæå íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.

Èòàê, ð è q —

îáà ÷åòíûå

÷èñëà.

Ïîñêîëüêó ð

èëè q — ÷èñëî

íå÷åòíîå,

âûõîäèò, ÷òî

÷åòíîå

÷èñëî ðàâíî

íå÷åòíîìó

÷èñëó. Â

êîíöå V âåêà

äî í. ý. Ôåîäîð

èç Êèðåíû

óñòàíîâèë,

÷òî

íåñîèçìåðèìîñòü

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35