óñòàíîâëåíî,

÷òî

ñõîäÿùèåñÿ

÷èñëîâûå

ðÿäû

ðàñïàäàþòñÿ

íà äâà âèäà —

àáñîëþòíî è

óñëîâíî

ñõîäÿùèåñÿ

ðÿäû (Äèðèõëå,

Ðèìàí). Ïî

îñíîâíûì

ñâîéñòâàì

àáñîëþòíî

ñõîäÿùèåñÿ

ðÿäû ñõîäíû ñ

êîíå÷íûìè

ñóììàìè; èõ

ìîæíî

ïåðåìíîæàòü

è

ïåðåñòàâëÿòü

â íèõ ÷ëåíû.

Óñëîâíî

ñõîäÿùèåñÿ

ðÿäû

ñóùåñòâåííî

îòëè÷àþòñÿ

îò íèõ; Ðèìàí

äîêàçàë, ÷òî

â ëþáîì,

óñëîâíî

ñõîäÿùåìñÿ

ðÿäå ìîæíî

òàê

ïåðåñòàâèòü

åãî ÷ëåíû,

÷òî âíîâü

ïîëó÷åííûé

ðÿä áóäåò

èìåòü

ñóììîé

íàïåðåä

çàäàííîå

÷èñëî; ìîæíî

òàêæå

äîáèòüñÿ

òîãî, ÷òîáû

íîâûé ðÿä

îêàçàëñÿ

ðàñõîäÿùèìñÿ.

Ñëåäîâàòåëüíî,

àëãîðèòìû,

îñíîâàííûå

íà ñâîéñòâå

êîíå÷íûõ

ñóìì, ìîæíî

îòíîñèòü

òîëüêî ê

àáñîëþòíî

ñõîäÿùèìñÿ

ðÿäàì. Ê

ïåðâîé

÷åòâåðòè XIX

âåêà

îòíîñèòñÿ

îòêðûòèå

Êîøè

ôóíêöèè

, äëÿ êîòîðîé

ìîæíî

ñîñòàâèòü

ðÿä

Ìàêëîðåíà,

ñõîäÿùèéñÿ

ïðè âñÿêîì õ

, íî êîòîðûé

ñõîäèòñÿ

âñþäó ê íóëþ,

à íå ê ýòîé

ôóíêöèè.

Òåì ñàìûì áûëà äîêàçàíà îøèáî÷íîñòü èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ Ëàãðàíæà, ñäåëàííîãî èì ïðè ïîïûòêå îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå íà áàçå òåîðèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Îñîáóþ ðîëü ñûãðàëè èññëåäîâàíèÿ ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäàì (Äèðèõëå, Ðèìàí, Ëîáà÷åâñêèé è äð.). Áëàãîäàðÿ èì íà÷àëà ñîçäàâàòüñÿ îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, âêëþ÷èâøàÿ òåîðèþ ñòåïåííûõ ðÿäîâ êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé.

Òàêîãî ðîäà ôàêòû çàñòàâèëè ìàòåìàòèêîâ îòêàçàòüñÿ îò íåîáîñíîâàííîãî, ÷àñòî ôîðìàëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé è ñâîéñòâ êîíå÷íûõ ñóìì íà âñå áåñêîíå÷íûå ðÿäû è ïîìîãëè èì ðàçðàáîòàòü íàó÷íûå ïðèíöèïû òåîðèè ðÿäîâ, áàçèðóþùèåñÿ íà òåîðèè ïðåäåëîâ.

Ýòè æå ôàêòû ïîìîãëè ìàòåìàòèêàì ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ïîíÿòü, ïî÷åìó ìàòåìàòèêè XVIII âåêà íå ñìîãëè ñäåëàòü â òåîðèè ðÿäîâ òî, ÷òî óäàëîñü ñäåëàòü èì. Òàê, ñîïîñòàâèâ ñâîéñòâà àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ, Ðèìàí çàìåòèë:

“Òîëüêî ê

ðÿäàì

ïåðâîãî

êëàññà

ïðèìåíèìû

çàêîíû

êîíå÷íûõ

ñóìì; òîëüêî

ýòè ðÿäû

ìîãóò áûòü â

ïîäëèííîì

ñìûñëå

ðàññìàòðèâàåìû

êàê ñóììà

âñåõ ñâîèõ

÷ëåíîâ; î

ðÿäàõ æå

âòîðîãî

êëàññà òîãî

æå ñêàçàòü

íåëüçÿ,—

îáñòîÿòåëüñòâî,

óïóùåííîå

èç âèäà

ìàòåìàòèêàìè

ïðîøëîãî

ñòîëåòèÿ,

âåðîÿòíî, ïî

òîé ïðè÷èíå,

÷òî ðÿäû,

ðàñïîëîæåííûå

ïî

âîçðàñòàþùèì

ñòåïåíÿì

ïåðåìåííîé,

âîîáùå

ãîâîðÿ (ò. å. äëÿ

âñåõ

çíà÷åíèé

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35