|
èíòåãðàëüíûõ
ñóìì,
ñëàãàåìûå
êîòîðûõ áûëè
áû
áåñêîíå÷íî
ìàëûìè. Â
ïåðâîé
÷åòâåðòè XIX
âåêà
ïîíÿòèå
áåñêîíå÷íî
ìàëîé
îêàçàëîñü
íåîáõîäèìûì
è äëÿ
èçó÷åíèÿ è
ñîïîñòàâëåíèÿ
ñâîéñòâ
íåïðåðûâíûõ
è ðàçðûâíûõ
ôóíêöèé.
“Ìåæäó
ìíîãèìè
ïîíÿòèÿìè,—
óêàçûâàë
Êîøè,— òåñíî
ñâÿçàííûìè
ñî
ñâîéñòâàìè
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ,
ñëåäóåò
ïîìåñòèòü
ïîíÿòèå î
íåïðåðûâíîñòè
è
ïðåðûâíîñòè
ôóíêöèé”. Òóò
æå Êîøè äàåò
èñòîëêîâàíèå
íåïðåðûâíîñòè
ôóíêöèè,
êîòîðîå
áîëåå ÷åì
ÿñíî
ïîäòâåðæäàåò
ÿñíîñòü
ýòîãî åãî
óòâåðæäåíèÿ.
Íîâàÿ
ïîñòàíîâêà
çàäà÷
îáîñíîâàíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà
ÿñíî
ïîêàçûâàëà,
÷òî äåëî íå
òîëüêî â
ïðèçíàíèè è
ïðèìåíåíèè
áåñêîíå÷íî
ìàëûõ — ýòî
äåëàëè è
ðàíüøå!— íî
ïðåæäå âñåãî
â íàó÷íîì
èñòîëêîâàíèè
èõ
ñîäåðæàíèÿ è
îáîñíîâàííîì
íà ýòîì
èñïîëüçîâàíèè
èõ â
àëãîðèòìàõ
ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà.
Îäíàêî,
÷òîáû ýòî
ñäåëàòü íàäî
áûëî
ïðåîäîëåòü
ãîñïîäñòâîâàâøåå
â XVIII âåêå
óçêîå
òîëêîâàíèå
ïîíÿòèÿ
ïðåäåëà,
ðàçðàáîòàòü
îáùóþ
òåîðèþ
ïðåäåëîâ.
Ïîëó÷åíèå
îñíîâîïîëàãàþùèõ
ðåçóëüòàòîâ
ñâÿçàíî
çäåñü ñ
èìåíåì Êîøè.
Èçó÷åíèå
ðàçðûâíûõ
ôóíêöèé è
ñîïîñòàâëåíèå
èõ ñ
ôóíêöèÿìè
íåïðåðûâíûìè
çàñòàâèëî
ïðèçíàòü òî,
÷òî ðàíåå
ñ÷èòàëîñü
íåâîçìîæíûì:
÷òî ïðåäåë, ê
êîòîðîìó
ñòðåìèòüñÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
çíà÷åíèé
ôóíêöèè, ïðè
ñòðåìëåíèè
àðãóìåíòà â
íåêîòîðîé
òî÷êå ìîæåò
îêàçàòüñÿ
îòëè÷íûì îò
çíà÷åíèÿ
ôóíêöèè â
ýòîé òî÷êå.
Çíà÷èò,
ïðåäåë íå
âñåãäà
ÿâëÿåòñÿ
“ïîñëåäíèì”
çíà÷åíèåì
ïåðåìåííîé,
íî âî âñåõ
ñëó÷àÿõ
ïðåäåë åñòü
÷èñëî, ê
êîòîðîìó
ïåðåìåííàÿ
ïðèáëèæàåòñÿ
íåîãðàíè÷åííî.
Ñëåäîâàòåëüíî,
dx è dy íå
íåîáõîäèìî
íóëè èëè
ìèñòè÷åñêè
àêòóàëüíî
áåñêîíå÷íî
ìàëûå;
áåñêîíå÷íî
ìàëàÿ — ýòî
ïåðåìåííàÿ,
èìåþùàÿ
ïðåäåëîì
íóëü, ïðè÷åì
ôàêò ýòîò ñ
ïðîòèâîðå÷èÿìè
è
ïàðàäîêñàìè
íå ñâÿçàí.
Êîøè ïðåîäîëåë è âòîðóþ îãðàíè÷èòåëüíóþ òåíäåíöèþ â ïðèíÿòîé äî íåãî òðàêòîâêå ïîíÿòèÿ ïðåäåëà. Îí ïðèçíàë, ÷òî ïåðåìåííàÿ ìîæåò ïðèáëèæàòüñÿ ê ñâîåìó ïðåäåëó íå òîëüêî ìîíîòîííî, íî è êîëåáëÿñü, ïîðîé ïðèíèìàÿ çíà÷åíèÿ, ðàâíûå å¸ ïðåäåëó.
Êàê ñïðàâåäëèâî îòìåòèë Í. Í. Ëóçèí, ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðèäàëî òåîðèè Êîøè íåîáõîäèìóþ îáùíîñòü è èñêëþ÷èòåëüíóþ ãèáêîñòü.
×òî ïîçâîëèëî Êîøè ñäåëàòü ýòî èñêëþ÷èòåëüíî âàæíûé øàã? Îòâåò, êîíå÷íî, íàäî èñêàòü ïðåæäå âñåãî â ñâîåîáðàçèè òåõ ïðåäåëüíûõ ïðîöåññîâ, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèëîñü âñòðå÷àòüñÿ â êîíöå XVIII è íà÷àëå XIX âåêà â òî÷íûõ íàóêàõ, îñîáåííî â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå.  ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ê ÷èñëó òàêèõ ïðîöåññîâ íàäî â ïåðâóþ î÷åðåäü îòíåñòè îòûñêàíèå ïðåäåëîâ ðàçëè÷íîãî âèäà èíòåãðàëüíûõ ñóìì è íàõîæäåíèå ñóìì ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, îñîáåííî òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35
|
