Îí íàçûâàë äâà ìíîæåñòâà ðàâíîìîùíûìè è èìåþùèìè îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü, åñëè ìåæäó èõ ýëåìåíòàìè âîçìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå.

Äëÿ ðàçâèòèÿ îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ íàèáîëåå ñóùåñòâåííûì ÿâèëîñü äðóãîå îòêðûòèå Ã. Êàíòîðà — äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ñ ðàçëè÷íûìè ìîùíîñòÿìè.

Åñëè

ìíîæåñòâî

êîíå÷íî,

ïîíÿòèå

ìîùíîñòè

ñîâïàäàåò ñ

ïîíÿòèåì

÷èñëà åãî

ýëåìåíòîâ è

ìîæåò áûòü

âûðàæåíî

êîëè÷åñòâåííûì

íàòóðàëüíûì

÷èñëîì. Â

ñëó÷àÿõ

áåñêîíå÷íûõ

ìíîæåñòâ

íåëüçÿ

ãîâîðèòü î

÷èñëå èõ

ýëåìåíòîâ,

íî êàæäîìó

èç òàêèõ

ìíîæåñòâ

ìîæíî

ïðèïèñàòü

îïðåäåëåííóþ

ìîùíîñòü.

Ïðèíÿòî

îòíîñèòü

êàæäîìó

êëàññó

ìíîæåñòâ

íåêîòîðûé

ñèìâîë

ìîùíîñòè.

Òàê

— ñèìâîë

ìîùíîñòè

ñ÷åòíîãî

ìíîæåñòâà,

ñ — ñèìâîë

ìîùíîñòè

êîíòèíóóìà,

2ò — ñèìâîë

ìîùíîñòè

ìíîæåñòâà

âñåõ

ïîäìíîæåñòâ

ìíîæåñòâà,

ìîùíîñòü

êîòîðîãî

åñòü ò.

Êàæäûé

òàêîé

ñèìâîë

Êàíòîð

íàçâàë

òðàíñôèíèòíûì

÷èñëîì.

2. Трудности построения теории множеств.

Критика концепции Г. Кантора

Êàíòîð ïðåäïðèíÿë ïîïûòêó ðàçâèòü àðèôìåòèêó êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë. Îí äîêàçàë ìíîãèå àðèôìåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ ìîùíîñòåé êîíêðåòíûõ ìíîæåñòâ — ñ÷åòíûõ è ìîùíîñòè êîíòèíóóìà. Íàïðèìåð, åñëè ï — ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî:

Íî êîãäà êàíòîð ïîïûòàëñÿ îáîáùèòü ïîëó÷åííûå èì àðèôìåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ íà ëþáûå êàðäèíàëüíûå òðàíñôèíèòíûå ÷èñëà, òî âñòðåòèëñÿ ñ ñåðüåçíûìè òðóäíîñòÿìè.

Ïóñòü Ì è N —

êàêèå

óãîäíî

áåñêîíå÷íûå

ìíîæåñòâà,

ò è ï —

ñîîòâåòñòâóþùèå

èì

êàðäèíàëüíûå

òðàíñôèíèòíûå

÷èñëà. Ìîæíî

ëè

óòâåðæäàòü,

÷òî ýòè

÷èñëà

âñåãäà

ìîãóò áûòü

ñâÿçàíû

îäíèì è

òîëüêî îäíèì

èç çíàêîâ =, >, <?

Äëÿ

íàòóðàëüíûõ

÷èñåë ò è ï

ýòî

óòâåðæäåíèå

ñïðàâåäëèâî,

äëÿ

êàðäèíàëüíûõ

òðàíñôèíèòíûõ

÷èñåë

ñïðàâåäëèâîñòü

åãî íå

î÷åâèäíà.

Êàíòîð ýòó

ïðîáëåìó íå

ðåøèë, å¸

íàçâàëè

òðèõîòîìèè

. Êàíòîð íå

ñìîã òàêæå

äîêàçàòü

(èëè

îïðîâåðãíóòü),

÷òî äëÿ ëþáûõ

êàðäèíàëüíûõ

òðàíñôèíèòíûõ

÷èñåë

ñïðàâåäëèâû

ñîîòíîøåíèÿ:

1) ò+ï=òï;

2) ò=ò2;

3) åñëè ò2=ï2, òî ò=ï;

4) åñëè ò<ï è p<q, òî m+p<n+q;

5) åñëè ò<ï è p<q, òî mp<nq.

À. Òàðñêèé äîêàçàë, ÷òî êàæäîå èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíî òðèõîòîìèè.

Èçâåñòíî, ÷òî x0<c. Ñóùåñòâóåò ëè ìíîæåñòâî Ì, ìîùíîñòü êîòîðîãî ò óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35