îáúÿâèòü

êîìïëåêñíûå

÷èñëà

“âîîáðàæàåìûìè”

è, îáîéäÿ

âîïðîñû

îáîñíîâàíèÿ

èõ

àðèôìåòèêè,

îñòàâèòü èõ

â

ìàòåìàòèêå

â êà÷åñòâå

“ïîëåçíûõ

âñïîìîãàòåëüíûõ

ôóíêöèé”.

Íàïðîòèâ,

òðàêòîâêà

áåñêîíå÷íî

ìàëûõ êàê

“ïîëåçíûõ

ôóíêöèé”

øèðîêîãî

ðàñïðîñòðàíåíèÿ

íå ïîëó÷èëà:

ìàòåìàòèêè

çíàëè

ìåõàíè÷åñêîå

è

ãåîìåòðè÷åñêîå

èñòîëêîâàíèå

dx è dy.

2. Разработка способов обоснования

и первой половине XIX века

Ïðèìåðíî ñ ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII âåêà îáëàñòü ïðèëîæåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íà÷èíàåò çíà÷èòåëüíî ïåðåêðûâàòü ãðàíèöû åãî îáû÷íîãî ïðèëîæåíèÿ â ìåõàíèêå è ãåîìåòðèè. Åù¸ áûñòðåå ðàçâåðòûâàåòñÿ ýòîò ïðîöåññ â ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà.

Ìàòåìàòèêè

ïûòàëèñü

ñíà÷àëà

ðåøàòü íîâûå

çàäà÷è

ìåòîäàìè,

ðàçðàáîòàííûìè

êëàññèêàìè

XVIII âåêà —

Ýéëåðîì,

Äàëàìáåðîì,

Ëàãðàíæåì è

äðóãèìè.

Îäíàêî,

âñêîðå

âûÿñíèëîñü,

÷òî ìåòîäû

êëàññèêîâ

íåäîñòàòî÷íû,

÷òî íàäî

ðàçâèâàòü

íîâûå, áîëåå

îáùèå è

ñèëüíûå

ìåòîäû.

Âûÿñíèëîñü

òàêæå, ÷òî

íåäîñòàòî÷íîñòü

ìåòîäîâ

êëàññèêîâ

íåðåäêî

ñâÿçàíà ñ

óçîñòüþ

òðàêòîâêè

îñíîâíûõ

ïîíÿòèé, ñ

“èçãîíÿåìûì”

ïîíÿòèåì î

áåñêîíå÷íî

ìàëîì, ñ

“èñêëþ÷åíèÿìè”,

êîòîðûå

ðàíüøå

îñòàâàëèñü

â òåíè.

Ïîÿñíèì ñêàçàííîå îäíèì ïðèìåðîì.

Íüþòîí è Ëåéáíèö ðàçðàáîòàëè äâå òðàêòîâêè ïîíÿòèÿ îáû÷íîãî îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.

Íüþòîí òðàêòîâàë îïðåäåëåííûé èíòåãðàë êàê ðàçíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè:

,

ãäå F`(x)=f(x).

Äëÿ Ëåéáíèöà îïðåäåëåííûé èíòåãðàë áûë ñóììîé âñåõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ äèôôåðåíöèàëîâ.

.

Ïåðâàÿ òðàêòîâêà îòâå÷àëà òåõíèêå âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ ïðè ïîìîùè ïåðâîîáðàçíîé ïåðâîîáðàçíîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, âòîðàÿ — ïîòîìó, ÷òî â ïðèëîæåíèÿõ îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ïîÿâëÿëñÿ êàê ïðåäåë èçâåñòíîãî âèäà ñóììû (èíòåãðàëüíîé ñóììû).

Ïðèìåðíî äî ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII âåêà ïåðâàÿ òðàêòîâêà ïîíÿòèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà çàíèìàëà ãîñïîäñòâóþùåå ïîëîæåíèå. Ýòîìó ñïîñîáñòâîâàëè äâà îáñòîÿòåëüñòâà.

1. Ê íà÷àëó XVIII âåêà áûëè óñòàíîâëåíû ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé è íà÷àëàñü óñïåøíàÿ ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ èõ ïåðâîîáðàçíûõ (ðàöèîíàëüíûõ, îòäåëüíûõ êëàññîâ èððàöèîíàëüíûõ è òðàíñöåíäåíòíûõ ôóíêöèé). Áëàãîäàðÿ ýòîìó òî÷êà çðåíèÿ íüþòîíà âïîëíå îòâå÷àëà ðàçâèòèþ ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35